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求n*m网格内矩形的数目

问题描述:

  求一个n*m的网格内存在的矩形数目

     例如:

  1*1           有 1 个矩形:1个1*1的矩形

  2*2          有 9 个矩形 :4个1*1的矩形,4个1*2的矩形,1个2*2的矩形

  3*3      有多少个矩形??

  

  。

  。  

思路一:  总数=a1个1*1的矩形+a2个1*2的矩形+....+b1个2*1的矩形+b2个2*2的矩形+...+x个n*m的矩形;

  根据统计发现规律如下,n*m网格的矩形,包括

    1*1的矩形  n*m个  

    1*2的矩形  n*(m-1)个

    1*3的矩形  n*(m-2)个

    .....

    2*1的矩形  (n-1)*m 个

    2*2的矩形  (n-1)*(m-1)个

    ....

算法一:

    总数合计=n*m + n*(m-1) + n*(m-2)+....+(n-1)*m + (n-2)*(m-1)+...+)1

        =n*(n+1)/2*(m*(m+1)/2)

        =n*(n+1)*m*(m+1)/4

    

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public int Compute1(int n, int m)
   {
       return n * (n + 1) * m * (m + 1) / 4;
   }

算法二:

    按照统计逻辑思路进行编写代码

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public int Compute2(int _Width, int _Height)
  {
      Dictionary<string, int> dic = new Dictionary<string, int>();
 
      for (var i = 1; i <= _Width; i++)
      {
          for (var j = 1; j <= _Height; j++)
          {
              var sum = GetCount(i, j);
              dic.Add(i.ToString() + "," + j.ToString(), sum);
              _TotalCount = _TotalCount + sum;
          }
      }
 
      return _TotalCount;
  }
 
  public int GetCount(int x, int y)
  {
      if (x == 1 && y == 1)
      {
          return _Width * _Height;
      }
      else
      {
          return (_Width - x + 1) * (_Height - y + 1);
      }
  }

 

思路二:

  动态规划,假设dp[i][j]表示以第 i 行第 j 列的格子为右下角顶点的矩形数目,那么dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j] + dp[i][j-1] – dp[i-1][j-1] , 这里的1表示i ,j 位置的格子自身构成1*1的矩形,之所以减去dp[i-1][j-1], 因为dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 都包含了dp[i-1][j-1]。计算时注意i = 1 和 j = 1的边界条件。最后把所有dp[i][j]加起来就是我们所求的答案。以3*3网格举例,为了计算方便,红色为设置的边界值,黑色的才是最后需要加起来的值(结果为36)

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int rectNum(int row, int column)
{
    vector<vector<int> >dp(row+1, vector<int>(column+1, 1));
    int res = 0;
    dp[0][0] = 2;
    for(int i = 1; i <= row; i++)
        for(int j = 1; j <= column; j++)
        {
            dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1];
            res += dp[i][j];
        }
    return res;
}

思路三:

我们假设网格是1行m列的,那么总的矩形数目 = m(1*1的矩形) + m-1(1*2的矩形) + m-2(1*3的矩形) +…+1(1*m的矩形) = m*(m+1)/2,同理n行1列总的矩形数目是n*(n+1)/2. 对于n*m的网格,我们可以先确定好选取的行数(即确定矩形的高),公共有n*(n+1)/2种选法,选好以后就可以压缩成1行m列的网格来考虑了,因此总共n*(n+1)/2*m*(m+1)/2个矩形

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int rectNum(int row, int column)
{
    return row*(row+1)*column*(column+1)/4;
}