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实对称矩阵的正定性、负定性、半定性和不定性

????设实对称矩阵

????

方阵 的行列式用 表示,其各阶顺序主子式为 ,则

????一阶顺序主子式:

????

二阶顺序主子式:

????

三阶顺序主子式:

????

其余各阶顺序主子式依次类推。下表给出各矩阵的定义以及充分必要条件

名称

定义

充要条件

正定矩阵

特征值都大于零的实对称矩阵

所有各阶顺序主子式都大于零,即

半正定矩阵

特征值都不小于零的实对称矩阵

负定矩阵

特征值都小于零的实对称矩阵

????

半负定矩阵

特征值都不大于零的实对称矩阵

不定矩阵

特征值既有大于零又有小于零的实对称矩阵

有两个奇数阶顺序主子式,其中一个为正,一个为负

实对称矩阵的正定性、负定性、半定性和不定性