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SG函数学（hua）习（shui）记录

2024-09-16 11:18:46   218人阅读

---恢复内容开始---

听说有一个东西叫SG函数

觉得自己好像原来是懂一些粗浅的应用但现在感觉要再深♂入一点呢

让我们先来介绍一下SG函数吧

这是某类满足下列条件的玄学博弈问题解法

  • 双人、回合制；
  • 信息完全公开（perfect information）；
  • 无随机因素（deterministic）；
  • 必然在有限步内结束（finite）；
  • 没有平局；
  • 双方可采取的行动相同（impartial）；
  • 无法行动者判负（normal play）；

具体证明可以见https://zhuanlan.zhihu.com/p/20611132?columnSlug=maigo

那么我们现在有一个函数SG[i]表示某种状态的SG函数

且有SG[i] = mex{SG[k] | k->i(k是i的下一级状态)}   SG[i] = SG[a1]^SG[a2]^SG[a3]^...^SG[ak] (a1...ak是组成状态i的子状态)

如果SG[i] == 0 那么 i 是一种必败态，不然是一种必胜态

于是介绍完了

下面上例题

 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1022

技术分享
 1 #include<stdio.h>   2 #include<stdlib.h>   3 int main()   4 {   5     int T,n,i,x,SG,flag;   6     scanf("%d",&T);   7     for(;T>0;T--)   8     {   9         scanf("%d",&n);  10         SG=flag=0;   11         for(i=1;i<=n;i++)  12         {  13             scanf("%d",&x);  14             SG^=x;  15             if(x!=1) flag=1; 16         }  17         if( (SG==0&&flag==0) || (SG!=0&&flag==1) ) printf("John\n");  18         else printf("Brother\n");  19     }  20     return 0;  21 }
BZOJ 1022

 这是一道最简单的SG函数题，连SG函数都不用存就可以一路推推推推出终态的SG函数

 

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4035

技术分享
 1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define N 100010 3 using namespace std; 4 int n,T,SG1[N],SG2[N],m; 5  6 int read(){ 7     int f = 0; char ch = getchar(); 8     while (ch > ‘9‘ || ch < ‘0‘ ) ch = getchar(); 9     while (ch <= ‘9‘&& ch >= ‘0‘) {10         f = f*10 + ch - ‘0‘;11         ch = getchar();12     }13     return f;14 }15 16 int nxt(int x,int y){ return (x==y)?y+1:y/(y/(x+1)); }  17 18 void GetSG(){ 19     int now,cnt,a[N]; bool bo[N];20     memset(SG1,0,sizeof(SG1));21     memset(bo,0,sizeof(bo));22     memset(SG2,0,sizeof(SG2));23     for (int i=1; i<=n; i=nxt(i,n)){  24         now=cnt=0;  25         for (int j=2; j<=i; j=nxt(j,i)){  26             int x=i/j; int t=(x>m)?SG2[n/x]:SG1[x];  27             a[++cnt]=now^t; bo[a[cnt]]=1;  28             if ((i/x-i/(x+1))&1) now^=t;  29         }  30         now=1; while (bo[now]) now++; 31         (i <= m) ? SG1[i] = now : SG2[n/i]=now;  32         for (int j=1; j<=cnt; j++) bo[a[j]]=0;  33     }  34 }  35 36 int main(){37     n = read();    T = read(); m = (int)sqrt(n); GetSG(); 38     while (T--){39         int cnt = read(),ans = 0,x;40         for (int i = 1; i <= cnt; i ++){41             x = n/read();42             ans^=(x>m)?SG2[n/x]:SG1[x];43         }44         puts((ans)?"Yes":"No");45     }46 }
BZOJ4035

这题可以对每一个白格子位置搞SG：SG[i]=mex{SG[i*1]^SG[i*2]^...^SG[i*k]}，k∈[2,N/i]

但是我们会发现状态太多存不下

所以我们可以再推一推，发现每个SG函数只和n/i有关，所以状态数就变成了N^0.5个，大于N^0.5的状态就存在n/i里就好了

然后对于每一个状态，有很多状态都是冗余的，不需要计算，所以在循环的时候直接写成像这样就好了：

 for (int i = 1; i <= n; i = n/(n/(i+1))) // 记得判 i == n时不要让程序计算n/(n/(i+1))不然会除0 

——————————————————————————————————未完待 θ.θ 续——————————————————————————————————

 

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