能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】5 4【样例输入2】3 4

Sample Output

【样例输出1】36【样例输出2】20【数据规模和约定】对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

　　感觉我自己很难想出来哈~
　　O(nlogn)：f[i]表示不超过限制时gcd(a,b)=i的对数，从后往前做然后减掉多算的：

#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn =100005;typedef long long LL ;LL f[maxn];///f[i]表示满足gcd(x,y)=i的对数int main(){    int n,m;    scanf("%d%d",&n,&m);    LL t=min(n,m);    LL ans=0;    for(int i=t;i;i--){        f[i]=(LL)(m/i)*(n/i);        for(int j=i+i;j<maxn;j+=i)            f[i]-=f[j];        ans+=f[i]*(2*i-1);    }    printf("%lld\n",ans);    return 0;}

　　把他们累加起来计算即可。

O(n):∑(a,b) (1<=a<=n,1<=b<=m) = ∑phi[d]*⌊n/d⌋*⌊m/d⌋
具体见ppt证明。

O(√n)：用分块方法计算上式

　　可见，形式类似d*√（n/d）的可以考虑分块优化来做~~
 

2016-08-30 09:16:28

【BZOJ 2005】[Noi2010]能量采集 （容斥原理| 欧拉筛+ 分块）