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(hdu step 2.2.1)Fibonacci(求当n很大时的斐波那契数)

2024-11-25 15:18:02   203人阅读

题目：

        

Fibonacci

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3036 Accepted Submission(s): 1397
 
Problem Description
2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。
 
Input
输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。
 
Output

            输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。
 
Sample Input
0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39
40
 
Sample Output
0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324
1023
 
Author
daringQQ
 
Source
Happy 2007
 
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题目分析：

               这道题和那些斐波那契水题不一样。这里的n很大(n<100000000)。在这道题中直接开数组打表是行不通的，那样会超时。所以这道题采用以下思路来解决：

1）当n较小时，直接从打好的表中输出相应的斐波那契数。

2）当n较大时，使用公式并结合对数的性质来解决。


以下是用到的一些推导：

（1）我们要知道斐波那契数列的通项公式：F[N]=(1/√5) * [((1+√5)/2)^N-((1-√5)/2)^N].


（2）对数log的强悍(以10为底)：对两边取对数

 

logF[N]=-0.5*log5+log [((1+√5)/2)^N-((1-√5)/2)^N].

我们知道当N小于21的时候，斐波那契的数值不超过四位，而当N超过21时，((1-√5)/2)^N的值已经趋向于0了，我们可以不管 这项。那么原式就可以化为：

logF[N]=-0.5*log5+N*log (1+√5)/2

把后面的记为K=-0.5*log5+N*log (1+√5)/2

那么  10^K=F[N];！！！ 

     举个例子： 10^2.3=199.5262314.......

10^0.3=1.995262314.......

这样具体的数字很直观，对映到 10^K=F[N]，取K的小数部分后，10^K就变为了科学计数的形式，那么此时你要取多少位就可以取 多少位，就像要是你知道了10^0.3，那么你想得到1.995262314......的几位就几位！！

 

代码如下：

/*
 * a1.cpp
 *
 *  Created on: 2015年2月2日
 *      Author: Administrator
 */


#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>


using namespace std;

const int maxn = 21;//斐波那契的地21项是1094
int f[maxn];

/**
 * 用于处理不是很大的斐波那契数。
 * 在这里如果n小于21，就直接从大号的斐波那契表中输出
 */
void init(){
	int i;
	f[1] = 1;
	f[2] = 1;
	for(i = 3 ; i < maxn ; ++i){
		f[i] = f[i-1] + f[i-2];
	}
}

/**
 * 朱勇用于处理斐波那契数很大的情况
 * 在这里主要是用到了公式来解决这个问题
 */
int solve(int n){
	double k = -0.5*log10(5) + n*log10((1+sqrt(5*1.0))/2);
	k -= (int)k;//讲幂数变成0.X的形式方便后面处理
	double ans = pow(10,k);

	while(ans < 1000){//只输出前4位
		ans *= 10;
	}

//	cout << ans << endl;
	return (int)ans;//取整,去掉小数点后面的数
}


int main(){
	int n;
	init();
	while(scanf("%d",&n)!=EOF){
		if(n < maxn){//如果n小于21则直接从大号的表中输出
			printf("%d\n",f[n]);
		}else{//如果n>21则用公式计算好后在输出相应的斐波那契数
			printf("%d\n",solve(n));
//			solve(n);
		}
	}

	return 0;
}




(hdu step 2.2.1)Fibonacci(求当n很大时的斐波那契数)


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