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数据结构18——欧拉函数
1.欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。
2.通式：φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
3.对于质数p，φ(p) = p - 1。
4.欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。
5.欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
6.若n是质数p的k次幂，φ(n)=pk - pk-1 = (p-1)pk-1，因为除了p的倍数外 ，其他数都跟n互质。
7.特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)
8.欧拉函数还有这样的性质：
设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) *a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有E(N) = E(N / a) * (a - 1)。
【普通欧拉函数】
int phi(int p){
int phi=p;
for(int i=2;i*i<=p;i++){
if(!(p%i)){
phi=phi-phi/i;
while(!(p%i)) p/=i;
}
}
if(p>1) phi=phi-phi/p;
return phi;
}
【快速欧拉函数】
void prepare(){
phi[1]=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!check[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){
check[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
else {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
}
}
}
数据结构18——欧拉函数
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