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学数答题160903-三角函数

题160903设$\alpha ,\beta $均为锐角,满足

${{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta =\sin (\alpha +\beta )$,

求$\alpha +\beta $的值.


 试题来源:2016年北大全国优秀中学生暑期学堂

解:显然当$\alpha +\beta =\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$时,等式成立;

由已知条件知${{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta $,

整理得$\sin \alpha (\sin \alpha -\cos \beta )=\sin \beta (\cos \alpha -\sin \beta )$.

若$\alpha +\beta \ne \dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$,则有$\sin \alpha -\cos \beta $与$\cos \alpha -\sin \beta $同号.

若它们同为正,则有$\sin \alpha >\cos \beta =\sin \left( \dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\beta  \right)$,$\cos \alpha =\sin \left( \dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\alpha  \right)>\sin \beta $,

从而有$\alpha >\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\beta $,$\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\alpha >\beta $,无解;

若它们同为负,用类似的方式也可以推导出矛盾.

综上,$\alpha +\beta =\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$.


法2:由${{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta =\sin (\alpha +\beta )$,$\sin \left( \alpha +\beta  \right)\le 1$,得${{\sin }^{2}}\alpha \le 1-{{\sin }^{2}}\beta ={{\cos }^{2}}\beta $,

因为$\alpha ,\beta $均为锐角,所以$\sin \alpha \le \cos \beta $,同理$\sin \beta \le \cos \alpha $,

故$\sin \left( \alpha +\beta  \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta $$\ge {{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta $,

当且仅当$\sin \alpha =\cos \beta =\sin \left( \dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\beta  \right)$,$\sin \beta =\cos \alpha =\sin \left( \dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\alpha  \right)$时取等,

因为$\alpha ,\beta ,\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\alpha ,\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\beta $均为锐角,所以$\alpha +\beta =\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}$.


学生解答

BAM提供:完全正确

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LST提供:完全正确

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WQY提供:完全正确

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FXY提供:完全正确

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MJX提供:完全正确,解法巧妙

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LZX提供:倒数2,3行错误

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