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BZOJ 2142 礼物 数论
这道题是求组合数终极版.
C(n,m) mod P
n>=1e9 m>=1e9 P>=1e9且为合数且piqi<=1e5
拓展lucas定理.
实际上就是一点数论小知识的应用.
这篇文章对于CRT和lucas定理的学习非常不错.
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define FILE "dealing" #define up(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++) #define db double #define pii pair<ll,ll> #define pb push_back template<class T> inline bool cmin(T& a,T b){return a>b?a=b,true:false;} template<class T> inline bool cmax(T& a,T b){return a<b?a=b,true:false;} template<class T> inline T squ(T a){return a*a;} const int maxn=101000+10,inf=1e9+10; ll read(){ ll x=0,f=1,ch=getchar(); while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();} while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘,ch=getchar(); return x*f; } ll n,m,mod,w[maxn]; struct node{ ll p,a,num; }a[maxn];int tot=0; void divide(ll n){ for(ll i=2;i*i<=n;i++){ if(n%i==0){ n/=i; a[++tot].p=i,a[tot].a=1,a[tot].num=i; while(n%i==0){ a[tot].a++; a[tot].num*=i; n/=i; } } if(n==1)break; } if(n!=1)a[++tot].p=n,a[tot].num=n,a[tot].a=1; } ll qpow(ll a,ll b,ll mod){ ll ans=1; for(;b;b>>=1,a=a*a%mod) if(b&1)ans=ans*a%mod; return ans; } pii deal(ll n,int pos){ pii t;t.first=1,t.second=0; if(n==0)return t; ll mod=a[pos].num,p=a[pos].p; for(int i=1;i<mod;i++) if(i%p)t.first=t.first*i%mod; t.first=qpow(t.first,n/mod,mod); for(int i=1;i<=n%mod;i++)if(i%p)t.first=t.first*i%mod; t.second+=n/p; pii w=deal(n/p,pos); t.first=t.first*w.first%mod; t.second+=w.second; return t; } ll A[maxn],M[maxn],Ans=1; void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){ if(b==0){d=a;x=1,y=0;return;} exgcd(b,a%b,d,x,y); ll t=x; x=y; y=t-a/b*x; } void CRT(){ ll AA=A[1],MM=M[1]; for(int i=2;i<=tot;i++){ ll d,k,x,y; exgcd(MM,M[i],d,x,y); x*=(A[i]-AA); x=(x%M[i]+M[i])%M[i]; AA=(AA+x*MM)%(MM*M[i]); MM=MM*M[i]; } printf("%lld\n",AA); } int main(){ //freopen(FILE".in","r",stdin); //freopen(FILE".out","w",stdout); mod=read(),n=read(),m=read(); ll sum=0; up(i,1,m)w[i]=read(),sum+=w[i]; if(sum<n)w[++m]=n-sum; else if(sum>n){ printf("Impossible\n"); return 0; } divide(mod); for(int i=1;i<=tot;i++){ ll mod=a[i].num,p=a[i].p; pii t=deal(n,i); for(int j=1;j<=m;j++){ pii k=deal(w[j],i); t.second-=k.second; ll x,y,d; exgcd(k.first,mod,d,x,y); x=(x%mod+mod)%mod; t.first=t.first*x%mod; } A[i]=t.first*qpow(p,t.second,mod)%mod,M[i]=mod; } CRT(); return 0; }
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