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任意两个无限阶循环群之间的映上同态总是同构的

扩展为:任意两个无限接循环群总是同构的


  1.  设G关于二元运算“?”构成一个无限接循环群,记其单位元为e;
  2. 有循环群的定义,记G得生成元为a,则G=<a>;----即表示G中任何一个元素都可以表示为an;
  3. 由于任何一个无=无限阶循环群都与整数加群同构-----故问题等价于任何一个无限阶循环群都有整数加群同构;
  4. 证明两个群是同构的等价于构造一个同构映射
  5. φ(n)=an 是整数加群到G的映射;
  6. 证明:φ是映射,任何相等相等的原像其像是相等的
  7. 证明:φ是同态
  8. 证明:φ是单射,满射

如何证明其实单射-------其kerφ={0}

反证法:假设其kerφ中还包含有另外一个整数,记作n,满足φ(n)=an=e;

对于G中的任何一个元素am;令m=nr+q;0<q<\n\

则am=anr+q=anr+aq=aq

则任何一个元素am与都与有限个元素相等,故G不可能是无限阶群,矛盾。


 

任意两个无限阶循环群之间的映上同态总是同构的