习题：

7.请把定理1.4.10改写成更一般的语言来叙述,第一句是:"设$f$是群$G_{1}$到$G_{2}$的满同态,且$H<G_{1}$,并记$N={\rm Ker}f$,则……"

解答    与该定理类似的我们有：

(1)$HN$是$G_{1}$中包含$N$的子群且

$$HN=f^{-1}(f(H))$$

即$HN$是$f(H)$的完全原象;

(2)$(H\cap N)\lhd H$且${\rm Ker}f|_{H}=H\cap N$;

(3)考虑同态满射$f|_{H}:H\to f(H)=HN$,据同态基本定理便知

$$HN\simeq H/(H\cap N)$$

9.举例说明下列命题不正确：

设$G_{1},G_{2}$不正确,$N_{1}\lhd G_{1},N_{2}\lhd G_{2}$,且有

$$G_{1}\simeq G_{2},N_{1}\simeq N_{2}$$

则必有$G_{1}/N_{1}\simeq G_{2}/N_{2}$.

解答    例如取$G_{1}=G_{2}=\mathbb Z:\{\mathbb Z,+\}$,取$N_{1}=2\mathbb Z,N_{2}=3\mathbb Z$,那么$N_{1}\simeq N_{2}$.事实上根据如下同构便知

\begin{align*}\phi:N_{1}&\to N_{2}\\2a&\mapsto 3a\end{align*}

但是$G_{1}/N_{1}=\mathbb Z_{2},G_{2}/N_{2}=\mathbb Z_{3}$,而

$$|\mathbb Z_{2}|=2,|\mathbb Z_{3}|=3$$

显然二者不同构.

补充题：

1.证明定理1.4.8,内容如下：

设$f$是群$G_{1}$到$G_{2}$的满同态,记$N={\rm Ker}f$,则

(1)$f$建立了$G_{1}$中包含$N$的子群与$G_{2}$中子群间的双射;

(2)上述映射把正规子群映成正规子群;

(3)若$N\subset H\lhd G_{1}$,则

$$G_{1}/H\simeq G_{2}/f(H).$$

证明    (1)令$\Gamma$表示$G_{1}$中包含$N$的子群的全体，$\Sigma$表示$G_{2}$的子群的全体,作

\begin{align*}\phi:\Gamma&\to\Sigma\\H&\mapsto f(H)\end{align*}

由于$f$是满同态，那么显然$\phi$确实是一个映射,同时$\phi$显然也是满的.再来说明$\phi$单,否则存在$H_{1},H_{2}\in\Gamma$且$H_{1}\neq H_{2}$使得

$$f(H_{1})=f(H_{2})$$

从而存在$b\in H_{2}$且$b\notin H_{1}$,以及$a\in H_{1}$使得

$$f(a)=f(b)$$

易知$ab^{-1}\in N\subset H_{1}$,从而$b\in H_{1}$,矛盾！这就说明$\phi$确实是单的.

综合便知$\phi$为双射.

(2)由$f$满同态，是显然的.

(3)由(2)知$f(H)\lhd G_{2}$,作对应关系

\begin{align*}\varphi: G_{1}/H&\to G_{2}/f(H)\\aH&\mapsto f(a)f(H)\end{align*}

先来说明$\varphi$确实是映射,设$aH=bH$,即$b^{-1}a\in H$,那么$\left(f(b)\right)^{-1}f(a)\in f(H)$,从而

\begin{align*}f(a)f(H)&=f(b)f(H)\\\Rightarrow\varphi(aH)&=\varphi(bH)\end{align*}

所以$\varphi$确实是映射.

然后不难验证$\varphi$是同构,从而

$$G_{1}/H\simeq G_{2}/f(H).$$

2.设$\sigma$是群$G$到自身的自同构,且满足

$$\sigma(g)=g\Rightarrow g=e$$

证明：

(1)$f:g\to\sigma(g)g^{-1}$是单射;

(2)若$G$是有限群,则$G$的每个元素均可写成$\sigma(g)g^{-1}$的形式;

(3)若$G$是有限群,且$\sigma^2={\rm id}_{G}$,那么$G$为奇数阶Abel群.

证明    (1)设$f(g)=f(h)$,则

\begin{align*}\sigma(g)g^{-1}&=\sigma(h)h^{-1}\\\Rightarrow\sigma(h^{-1}g)&=h^{-1}g=e\end{align*}

从而$g=h$,即$f$单.

(2)由于$|G|<\infty$,而据(1)便知

$$|f(G)|\geq|G|$$

注意$f(G)\subset G$,从而$f(G)=G$.而$f(G)$中任一元素均具有$\sigma(g)g^{-1}$的形式,也就是说$G$中元素也具有此形式.

(3)由(2)知$\forall g\in G$,具有形式$\sigma(a)a^{-1}$,从而

\begin{align*}\sigma(g)&=\sigma^2(a)\sigma(a^{-1})=\left(\sigma(a)a^{-1}\right)^{-1}=g^{-1}\end{align*}

由有题目可知若$g\neq e$,则$\sigma(g)=g^{-1}\neq g$,所以在$G$中非零元必然成对出现,所以$|G|$为奇数.

此外$\forall g,h\in G$有

$$gh=\sigma\left((gh)^{-1}\right)=\sigma(h^{-1})\sigma(g^{-1})=hg$$

所以$G$是Abel群.

4.证明$\{\mathbb Q^*,\cdot\}$与$\{\mathbb Q,+\}$不同构.

证明    若存在同构$f:\mathbb Q^*\to\mathbb Q$,则

$$f(-1)^2=f(1)=0$$

从而$f(-1)=0$,与$f$单矛盾!

5.求$\{\mathbb C^*,\cdot\}$的子群$N$使得

$$\{\mathbb C^*,\cdot\}/N\simeq\{\mathbb R^+,\cdot\}.$$ 

解    作映射\begin{align*}\phi:\mathbb C^*&\to\mathbb R^+\\z&\mapsto|z|\end{align*}

我们不难验证$\phi$为同态满射,且

$${\rm Ker}\phi=\{e^{i\theta}:-\pi<\theta\leq\pi\}$$据同态基本定理可知

$$\mathbb C^*/{\rm Ker}\phi\simeq\mathbb R^+$$

因此取$N={\rm Ker}\phi$即可.

6.设$H\lhd G$,且$|H|=n$,$|G/H|=m$,且$(m,n)=1$.证明：$H$是$G$的唯一的$n$阶子群.

证明    若存在$G$的另一$n$阶子群$H_{1}<G$,据定理1.4.10可知

$$H_{1}/(H_{1}\cap H)\simeq (H_{1}H)/H$$

如果设$|H_{1}\cap H|=l$,那么显然$l\mid n$.又$(H_{1}H)/H<G/H$,据Lagrange定理

$$\vert H_{1}/(H_{1}\cap H)\vert\big|\vert G/H\vert$$

从而\begin{align*}\frac{n}{l}\mid m\Rightarrow n&\mid ml\Rightarrow n\mid l\end{align*}

所以$n=l$,而$H_{1}\cap H\subset H$且$H_{1}\cap H\subset H_{1}$,易知

$$H=H_{1}$$

所以$H$是唯一的$n$阶子群.