习题：

4.证明指数为$2$的子群必正规.

证明    设$G$为群且$H<G$且$[G:H]=2$,那么有左陪集分解

$$G=H\cup aH,a\notin H$$

同样的一定有右陪集分解

$$G=H\cup Ha$$

显然$aH=Ha$.由等价类的代表元之任意性便知$H\lhd G$.

5.设$G$是群,$H\lhd G,K\lhd G$且$H\cap K=\{e\}$,证明

$$hk=kh,\forall h\in H,k\in k$$

证明    又正规子群可知

\begin{align*}hk&=k_{1}h=kh_{1}\\\Rightarrow k^{-1}k_{1}&=h_{1}h^{-1}\in H\cap K\end{align*}

易得$k_{1}=k,h_{1}=h$,即$hk=kh$.

6.证明任一群都不能表示成其两个真子群之并.

证明    设群$G=A\cup B$,其中$A,B$均为$G$的真子群.从而存在$g\in A,g\notin B$以及$h\notin A,h\in B$,那么我们考虑$gh$.显然$gh$既不在$A$中,也不在$B$中,从而$gh\notin G$,与$G$是群矛盾!

8.若群$G$只有一个阶为$n$的子群$H$,那么$H\lhd G$.

证明    $\forall g\in G$,考察$g^{-1}Hg$,不难验证其仍构成群,且

$$\left|g^{-1}Hg\right|=|H|$$

由$H$的唯一性便知$g^{-1}Hg=H$,从而$H$正规.

补充题：

1.设$H$是整数加群$\mathbb Z$的子群,证明必有$m\in\mathbb Z$使得$H=m\mathbb Z$ .

证明    由于$\mathbb Z=<1>$为循环群,从而其任一子群$H$也必为循环群,因此存在$m\in\mathbb Z$使得

$$H=<m>=m\mathbb Z$$

由于循环群是后面的内容，此处也可用另一方法：若$H=\{0\}$,那么结论显然；若$H\neq\{0\}$,则考虑集合

$$S=\{|t|:t\in H,t\neq0\}$$

根据最下自然数原理可知集合$S$有最小值$m$,我们说$H=m\mathbb Z$,否则必然存在某个$n\in H$且$n>m>0$,但是$m\nmid n$,那么做带余除法

$$n=mq+r,0<r<m$$

由于$H$是群,那么$r\in H$,与$m$的极小性矛盾!

2.设$H,K$为群$G$的两个有限子群,证明

$$|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}.$$

证明    注意到$(H\cap K)<H$,设$\frac{|H|}{|H\cap K|}=n$,那么有左陪集分解

\begin{align*}H&=\bigcup_{i=1}^{n}h_{i}(H\cap K)\\&=\bigcup_{i=1}^{n}\left(H\cap h_{i}K\right)\tag{1}\\&=H\bigcap\left(\bigcup_{i=1}^{n}h_{i}K\right)\end{align*}

其中(1)式子用到了如下事实:

$$g(H\cap K)=gH\cap gK,g\in G.$$

从而可知$H\subset\bigcup_{i=1}^{n}h_{i}K$,进一步的

$$HK\subset\bigcup_{i=1}^{n}h_{i}K$$

另一方面每个$h_{i}K\subset HK$,从而

$$\bigcup_{i=1}^{n}h_{i}K\subset HK$$

因此$HK=\bigcup_{i=1}^{n}h_{i}K$,两边求阶数便得

$$|HK|=n|K|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}$$

5.设$A,B$是群$G$的两个子群,证明:

(1)$AB< G$等价于$AB=BA$;

(2)$A,B$中若有一个是正规的,那么$AB<G$;

(3)若$A,B$均正规,那么$AB\lhd G$.

证明    (1)必要性：若$AB<G$,那么

$$AB=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=BA$$

充分性：设$AB=BA$,那么对任意的$a_{1}b_{1},a_{2}b_{2}\in AB$有

\begin{align*}a_{1}b_{1}b_{2}^{-1}a_{2}^{-1}&=a_{1}b_{1}a_{3}b_{3}\\&=a_{1}a_{4}b_{4}b_{3}\\&=a_{5}b_{5}\in AB\\\Rightarrow AB&<G.\end{align*}

(2)不是一般性,设$A\lhd G$.同样的考虑

\begin{align*}a_{1}b_{1}b_{2}^{-1}a_{2}^{-1}&=a_{1}b_{1}a_{3}b_{2}^{-1}\\&=a_{1}a_{4}b_{1}b_{2}^{-1}\in AB\\\Rightarrow AB&<G.\end{align*}

(3)由(2)知$AB<G$,$\forall g\in G$,考虑

\begin{align*}gABg^{-1}&=gAg^{-1}gBg^{-1}=AB\end{align*}

从而$AB\lhd G.$