习题：

2.设$R$是无零因子环,只有有限个元素但至少有两个元素.证明$R$是体.

证明    只需说明$\{R^*;\cdot\}$构成群即可.由于$R$是环,因此$\{R^*;\cdot\}$构成有限半群;此外$R$无零因子,所以$\{R^*;\cdot\}$满足左右消去律,从而$\{R^*;\cdot\}$是群.即$\{R^*;+,\cdot\}$是体.

3.设$R$是环,若存在$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in R$,且每个$a_{i}\neq0$,使得

$$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=0$$

证明:$R$有零因子.

证明    采用数学归纳法.当$n=2$时结论显然成立.假设$n=k$时成立,考虑$k+1$的情形,若

$$a_{1}a_{2}\cdots a_{k}a_{k+1}=0,a_{i}\neq0$$

如果$a_{1}a_{2}=0$,那么$R$有零因子$a_{1},a_{2}$,结论已经成立.

如果$a_{1}a_{2}\neq0$,记$b=a_{1}a_{2}$,那么

$$ba_{3}\cdots a_{k+1}=0$$

由归纳假设知$R$有零因子.

综上根据数学归纳法的原理可是$R$有零因子.

5.设$R$为环,$a\in R$,证明:

$$<a>=\left\{\sum_{i=1}^{n}x_{i}ay_{i}+ra+as+na|r,s,x_{i},y_{i}\in R,n\in\mathbb Z\right\}$$

证明    记上式右端集合为$S$,容易验证$S$为$R$的理想.我们来说明$S$是$R$的所有包含$a$的理想中的最小者.任取$R$的包含$a$的理想$I$,按照题目中的式子任取$x_{i},y_{i},r,s\in R,n\in\mathbb Z$,根据理想的定义便知

$$x_{i}ay_{i};as;ra;na\in I$$

进而\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}x_{i}ay_{i}+ra+as+na&\in I\\\Rightarrow S&\subset I\end{align*}

所以说$<a>=S$.

6.设$R$为无零因子环,,$I$为$R$的理想,问商环$R/I$是否一定是无零因子环?

解答    不一定.例如取$R=\mathbb Z,I=6\mathbb Z$,那么

$$R/I=\mathbb Z_{6}$$

在$\mathbb Z_{6}$中

$$\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{0}$$

是有零因子的.

7.设$\mathbb P$为数域.证明:环$M_{n}(\mathbb P)$仅有平凡理想.

证明    即$R=M_{n}(\mathbb P)$,并任取$R$的非零理想$I$,我们来说明必有$I=R$,为此只需说明$R$中的幺元

$$e=E$$

即可.其中$E$为数域$\mathbb P$上的$n$阶单位阵.任取$I$中的非零元$A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}$,不是一般性的我们可以设

$$a_{ij}=\left\{\begin{array}{cc}1&i=j=1\\0&other\end{array}\right.$$

即$A=E_{11}$.这是由于我们可在$R$中取一些列初等方阵,分别左右乘以$A$,将其化为相抵标准型

$$\left(\begin{array}{cc}E_{r}&\\&0\end{array}\right),r\geq1$$

再通过$R$中矩阵$E_{11}$的作用便使得$E_{11}\in I$,再取$R$中的矩阵对$E_{11}$做适当的行列互换便可得到

$$E_{ii}\in I,i=1,2,\cdots,n$$

这样幺元$$e=E=E_{11}+E_{22}+\cdots+E_{nn}\in I$$

从而将$r$遍历$R$中所有元素,根据$$re=r\in I$$

便知$R=I$.也就是说环$R$仅有平凡理想.

8.设$R$为环,若$R$作为加法群是循环群,证明$R$是交换环.

证明    由题意$R$中元素均形如$na,n\in\mathbb Z$.这样任取$ka,la\in R$,显然$$(ka)\cdot(la)=kla^2=(la)\cdot(ka)$$

从而$R$是交换环.

补充题：

2.设$R$为幺环,称$x\in R$为可逆元,若存在$y\in R$使得$$xy=yx=1$$

设$a,b\in R$,证明$1-ab$可逆当且仅当$1-ba$可逆.

证明    我们先从形式上推导,注意到

\begin{align*}\frac{1}{1-ab}&=1+ab+(ab)^2+\cdots\\&=1+a\left(1+ba+(ba)^2+\cdots\right)b\\&=1+\frac{ab}{1-ba}\end{align*}

也就是说$(1-ab)^{-1}=1+a(1-ba)^{-1}b$.剩下的仅仅是机械的验证形式推导的结果.从而易知题重结论成立.

3.设$R$为环,$a\in R$.若存在$m\in\mathbb N$使得$a^m=0$,则称$a$为幂零元.证明:若$R$为交换环,则$R$中幂零元的全体构成$R$的理想.

证明    记$I$为$R$的全体幂零元构成的集合.首先不难证明若$a$幂零,那么$-a$也是幂零的,且二者幂零指数相同.且若$a^m=0$,那么

$$a^m=a^{m+1}=\cdots=0$$

因此任取$a,b\in I$,且幂零指数分别为$k_{1},k_{2}$,那么对于充分大的$m>>k_{1}+k_{2}$,在交换环$R$中考虑\begin{align*}(a-b)^{m}&=\sum_{i=0}^{m}\binom{n}{i}a^i(-b)^{m-i}=0\end{align*}

上式为零是由于对任意的$i=0,1,\cdots,m$,必然有$m-i\geq k_{2}$或$i\geq k_{1}$其一成立.因此$a-b\in I$.另一方面对任意的$r\in R$,有

$$(ra)^{k_{1}}=r^{k_{1}}a^{k_{1}}=0$$

从而$ra\in I$.综上可知$I$为$R$的理想.(由于是交换环,因此只需验证一边即可)

4.设$R$为环,$a\in R$.若$a\neq0$且$a^2=a$,则称$a$为幂等元.证明:

(1)若环$R$的所有非零元都是幂等元,那么$R$必为交换环;

(2)若$R$为无零因子环,且存在幂等元,则$R$只有唯一的幂等元,且$R$为幺环.

证明    (1)任取$R$的非零元$a$,那么$$a^2=a$$

显然$-a\neq0$,从而$-a$也是幂等元,即$$(-a)^2=a^2=a=-a$$

这样对任意的$a\neq b\in R$,显然$a+b\neq0$,从而其也是幂等元,因此

\begin{align*}a+b&=(a+b)(a+b)=a^2+b^2+ab+ba\\\Rightarrow ab&=-ba=ba\end{align*}

所以说$R$是交换环.

(2)注意到$$e(ea-a)=ea-ea=0$$

而$R$无零因子,因此$ea=a$,同理$ae=a$.所以$e$是$R$的幺元.由幺元的唯一性便知$e$也是唯一的幂等元.

6.设$R$为无零因子环,$e$是$R$的关于乘法的左(右)幺元,证明:$e$必是$R$的幺元.

证明    任取$R$中的非零元$a,b$,则\begin{align*}ab-ab&=0\\\Rightarrow (ea)b-a(eb)&=0\\\Rightarrow (ea-ae)b&=0\end{align*}

而$R$中无零因子,因此$ae=ea=a$,这说明$e$是$R$的幺元.