习题：

5.设$G$为循环群,$N<G$,证明$G/N$也是循环群.

证明    由于$G$可交换,从而$N\lhd G$,并且只需注意到$G/N$为自然同态$\pi:G\to G/N$的同态象,便知$G/N$也是循环群.事实上如果设$G=<a>$,那么不难证明

$$G/N=<aN>.$$

6.设$a,b$分别为群$G$中的$m,n$阶元素,且满足

$$ab=ba,<a>\cap<b>=\{e\}$$

证明:$ab$的阶为$[m,n]$.

证明    设$ab$的阶为$d$,由于

$$(ab)^{[m,n]}=a^{[m,n]}b^{[m,n]}=e$$

从而$d\big|[m,n]$.另一方面

\begin{align*}(ab)^d&=a^db^d=e\\\Rightarrow a^{d}&=b^{-d}\in<a>\cap<b>\\\Rightarrow a^d&=b^d=e\end{align*}

因此$m\big|d,n\big|d$,所以

$$[m,n]\big|d$$

从而$d=[m,n]$.

7.设$G_{1},G_{2}$分别为$m,n$阶循环群,证明$G_{1}$与$G_{2}$同态当且仅当$n\big|m$.

证明    必要性：若$G_{1}$与$G_{2}$同态,那么$G_{2}$同构于$G_{1}$的某个商群,而商群的阶数必为群阶数的因子,易知$n\big|m$.

充分性：若$n\big|m$,设$G_{1}=<a>,G_{2}=<b>$,作对应关系

\begin{align*}\phi:G_{1}&\to G_{2}\\a^k&\mapsto b^k\end{align*}

先来证明$\phi$为映射,设$a^{k}=a^{l}$,即$m\big|(k-l)$,从而$n\big|(k-l)$,因此

$$b^k=b^l$$

即$\phi(a^k)=\phi(a^l)$,因此$\phi$确实是映射.后面我们则不难证明$\phi$为同态满射.所以$G_{1}$与$G_{2}$同态.

8.证明$4$阶群$G$只有两种结构,一种是$4$阶循环群,另一种是Klein四元群.

证明    据Lagrange定理可知$G$中元素的阶数仅可能为$1,2,4$.

1)若$G$中有$4$阶元,那么$G$为$4$阶循环群；

2)若$G$中无$4$阶元,那么$G$含$3$个二阶元$a,b,c$,以及单位元$e$.则不难得出$G$中的运算满足

$$ab=ba=c,ac=ca=b,bc=cb=a$$

此时为Klein四元群.

补充题：

1.证明任何循环群$G$都可看做整数加群$\{\mathbb Z,+\}$的同态象.

证明    若$|G|=\infty$,那么$\mathbb Z\simeq G$;若$|G|<\infty$,则存在$m\in\mathbb Z$使得

$$G\simeq \mathbb Z_{m}=\mathbb Z/m\mathbb Z$$

而商群即为同态象,因此$G$为$\mathbb Z$的同态象.

2.设$G$是$n$阶Abel群,记$K=\{k\in\mathbb N|a^k=e,\forall a\in G\}$.证明$G$是循环群当且仅当

$$n={\rm min}K.$$

证明    必要性是显然的.再证充分性,由题意存在$a\in G$使得$a^n=e$,且$\forall0<m<n$都有$a^m\neq e$(否则与$n$之极小性矛盾).即$a$的阶为$n$,考虑$<a>\subset G$,而$|<a>|=|G|=n$,所以$G=<a>$.

3.设群$G$只有有限个子群,证明:$G$为有限群.

证明    $\forall g\in G$,若$G$的循环子群$|<g>|<\infty$,那么$G$有无穷多个这样的子群,与假设矛盾!

因此存在某个$a\in G$使得$|<a>|=\infty$,因此$<a>\simeq\mathbb Z$.而整数加群$\mathbb Z$有无穷多个子群,例如

$$m\mathbb Z,m\in\mathbb Z$$

所以$<a>$也有无穷多个子群,进而$G$有无穷多个子群.与题意矛盾!

4.证明：$\{\mathbb Q,+\}$的任一有限生成子群必为循环群.

证明    任取$\mathbb Q$的有限子集

$$S=\{\frac{q_{1}}{p_{1}},\cdots,\frac{q_{n}}{p_{n}}\}$$

令$q=\frac{1}{\prod_{i=1}^{n}p_{i}}$,那么$S$中每个元素均可由$q$生成,例如

$$\frac{q_{i}}{p_{i}}=q_{i}\prod_{j=1,j\neq i}^{n}p_{j}\cdot q$$

因此$<S>\big<<q>$,而循环群$<q>$的子群亦是循环群,从而$<S>$为循环群.

5.设$G=<a,b>$为由$a,b$生成的群,其中$a\neq b$,$a$的阶数为$n$,$b$的阶数为$2$,且

$$aba=b$$

证明$|G|=2n$.

证明   易知$ab=ba^{-1}$,从而

$$a^mb=a^{m-1}ba^{-1}=\cdots=ba^{-m}$$

而在$<a,b>$中的元素仅有如下五种形式

$$a^i;\prod_{j=1}^{m}a^{i_{j}}b;b\prod_{j=1}^{m}a^{i_{j}}b;\left(\prod_{j=1}^{m}a^{i_{j}}b\right)a^{i_{m+1}};b\left(\prod_{j=1}^{m}a^{i_{j}}b\right)a^{i_{m+1}}$$

注意到

$$a^kba^lb=a^kb^2a^{-l}=a^{k-l}$$

以及

$$ba^k=a^{-k}b$$

易知$<a,b>$中元素仅有两种形式

$$a^k;a^lb$$

又若$k\neq l$且$k,l\leq n-1$,(为避免出现$n=1,2$情况,可假设$n\geq3$,至于$1,2$的情形可单独考虑)根据消去律必有$a^kb\neq a^lb$则不难证明

$$G=\{e,a,\cdots,a^{n-1},b,ab,\cdots,a^{n-1}b\}$$

显然$|G|=2n$.

6.证明定理1.5.5中的"唯一性"：设$G$是$m$阶循环群,且$m_{1}$是$m$的一个正整数因子,则$G$中有唯一的$m_{1}$阶子群.

证明    设$G=<a>$,可构造$G$的一个$m_{1}$阶子群

$$H=\left<a^{\frac{m}{m_{1}}}\right>$$

又若$H_{1}$是另一$m_{1}$阶子群,显然$H_{1}$也是循环群,设$a^t$是$H_{1}$中最小的正幂元,那么$H_{1}=\left<a^t\right>$.则据$a^tm_{1}=e$,可得

\begin{align*}m&\big|tm_{1}\\\Rightarrow\frac{m}{m_{1}}&\big|t\end{align*}

设$t=\frac{m}{m_{1}}\cdot q$,则

$$a^t=\left(a^{\frac{m}{m_{1}}}\right)^q\in H$$

所以$H=H_{1}$.