1.设$R$是交换整环,$R[x]$是$R$上的一元多项式环,$f,g\in R[x]$.证明:

$${\rm deg}f\cdot g={\rm deg}f+{\rm deg}g$$

试问对于一般的交换幺环,上式是否成立?

证明    设$f=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^n,g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{m}x^m$,其中$a_{n},b_{m}\neq0$.由于$R$无零因子,因此$a_{n}b_{m}\neq0$,显然$${\rm deg}f\cdot g=m+n={\rm deg}f+{\rm deg}g.$$

对于一般的交换幺环上式并不一定成立,比如在$\mathbb Z_{6}[x]$中考虑$$f(x)=2x^4,g(x)=3x$$

显然${\rm deg}f(x)g(x)=0\neq 4+1$.

2.设$R$是交换整环,$F$是$R$的分式域,$F[x]$是$F$上的一元多项式环.证明$R[x]$是$R$的一元多项式环且$R[x]$与$F[x]$有相同的分式域.

证明   由于$R\subset F$,而$x$是$F$上的超越元,因而也是$R$上的超越元,所以$R[x]$构成$R$上的一元多项式环.设$R[x]$的分式域为$A$,$F[x]$的分式域为$B$,显然$A\subset B$.再证另一半,任取$\frac{f}{g}\in B$,其中$f=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^n\in F[x]$,并且每个$$a_{i}=\frac{p_{i}}{q_{i}},(p_{i}\in R,q_{i}\in R^*)$$

令$r=\prod_{i=0}^{n}q_{i}\in R^*$,则$$f=\frac{1}{r}\left(a_{0}‘+a_{1}‘x+\cdots+a_{n}‘x^n\right),(a_{i}‘\in R)$$

同理$g=\frac{1}{s}\left(b_{0}‘+b_{1}‘x+\cdots+b_{n}‘x^n\right),(s\in R^*,b_{i}‘\in R)$

因此$$\frac{f}{g}=\frac{s\left(a_{0}‘+a_{1}‘x+\cdots+a_{n}‘x^n\right)}{r\left(b_{0}‘+b_{1}‘x+\cdots+b_{n}‘x^n\right)}\in A$$

因此$B\subset A$.从而$A=B$.

3.设$\mathbb Q$为有理数域.证明$\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}$是$\mathbb Q$上的代数元且$$\mathbb Q[\omega]\simeq\mathbb Q[x]/<x^2+x+1>.$$

证明    显然$\omega^3-1=0$,所以$\omega$是$\mathbb Q$上的代数元.现做映射\begin{align*}\phi:\mathbb Q[x]&\to \mathbb Q[\omega]\\f(x)&\mapsto f(\omega)\end{align*}

不难验证$\phi$是满同态.我们来看其同态核${\rm Ker}\phi$,设$f(\omega)=0，f\in\mathbb Q[x]$,注意到$$\omega^2+\omega+1=0$$

且显然对任意的次数不超过$1$的有理系数多项式$g$,都有$g(\omega)\neq0$.据高等代数的知识显然$x^2+x+1\big|f(x)$,那么易知同态核即为主理想$<x^2+x+1>$,因而据环同态基本定理可知$$\mathbb Q[\omega]\simeq\mathbb Q[x]/<x^2+x+1>.$$

4.证明$u=\sqrt2+\sqrt3$是$\mathbb Q$上的代数元,并求$\mathbb Q[x]$的理想$I$使得$$\mathbb Q[x]/I\simeq \mathbb Q[u].$$

解答    注意到$u^4-10u^2+1=0$,从而$u$是$\mathbb Q$上的代数元.作映射\begin{align*}\phi:\mathbb Q[x]&\to\mathbb Q[u]\\f(x)&\mapsto f(u)\end{align*}

显然$\phi$是同态满射.考虑其同态核,与上题类似可知同态核${\rm Ker}\phi$即为主理想$<x^4-10x^2+1>$,因此取$I=<x^4-10x^2+1>$,再据环同态基本定理便有$$\mathbb Q[x]/I\simeq \mathbb Q[u].$$

5.设$I$是交换幺环$R$的理想,令$I[x_{1},\cdots,x_{n}]$是$R[x_{1},\cdots,x_{n}]$中系数在$I$中的多项式的集合.证明:

(1)$I[x_{1},\cdots,x_{n}]$是$R[x_{1},\cdots,x_{n}]$的理想;

(2)$R[x_{1},\cdots,x_{n}]/I[x_{1},\cdots,x_{n}]\simeq(R/I)[y_{1},\cdots,y_{n}]$,其中$y_{1},\cdots,y_{n}$在$R/I$上代数无关.

证明    (1)任取$f,g\in I[x_{1},\cdots,x_{n}]$,由于$I$是理想,显然$f-g\in I$,且对任意的$h\in R[x_{1},\cdots,x_{n}]$,如果设\begin{align*}f&=\sum_{k_{1},\cdots ,k_{n}}a_{k_{1}\cdots k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}},a_{k_{1}\cdots k_{n}\in I}\\h&=\sum_{l_{1},\cdots ,l_{n}}b_{l_{1}\cdots l_{n}}x_{1}^{l_{1}}\cdots x_{n}^{l_{n}},a_{l_{1}\cdots l_{n}\in R}\end{align*}

而$hf$的系数均形如$$\sum a_{i_{1}\cdots i_{n}}b_{j_{1}\cdots j_{n}}\in I$$

所以$I[x_{1},\cdots,x_{n}]$是$R[x_{1},\cdots,x_{n}]$的理想.

(2)作映射\begin{align*}\phi:R[x_{1},\cdots,x_{n}]&\to(R/I)[y_{1},\cdots,y_{n}]\\\sum_{k_{1},\cdots ,k_{n}}a_{k_{1}\cdots k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}&\mapsto\sum_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\overline{a_{k_{1}\cdots k_{n}}}y_{1}^{k_{1}}\cdots y_{n}^{k_{n}}\end{align*}

容易验证$\phi$是满同态,且同态核$${\rm Ker}\phi=I[x_{1},\cdots,x_{n}]$$

据同态基本定理便知$$R[x_{1},\cdots,x_{n}]/I[x_{1},\cdots,x_{n}]\simeq(R/I)[y_{1},\cdots,y_{n}].$$

6.设$R$是一个环,令$$R[[x]]=\{(a_{0},a_{1},\cdots)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^n|a_{n}\in R\}$$

并在$R[[x]]$中定义加法和乘法:\begin{align*}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^n+\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^n&=\sum_{n=0}^{\infty}(a_{n}+b_{n})x^n\\\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^n\cdot\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^n&=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)x^n\end{align*}

证明$R[[x]]$是一个环(称为$R$上的形式幂级数环).

证明    显然$\{R[[x]];+\}$构成Abel群,乘法对加法的分配律也是显然的,我们来验证一下乘法的结合律\begin{align*}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^n\cdot\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^n\right)\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^n&=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)x^n\cdot\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^n\\&=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{i+j=n}\sum_{p+q=i}a_{p}b_{q}\right)c_{j}x^n\\&=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{p+q=n}a_{p}\sum_{i+j=q}b_{i}c_{j}\right)x^n\\&=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^n\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^n\cdot\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^n\right)\end{align*}

所以$\{R[[x]];\cdot\}$构成半群.从而$R[[x]]$是环.

7.设$M$是一个幺半群,$R$是交换幺环.令$$R[M]=\{f|f:M\to R,|M\setminus f^{-1}(0)|<\infty\}$$

在$R[M]$中定义加法和乘法:\begin{align*}(f+g)(m)&=f(m)+g(m)\\(f\cdot g)(m)&=\sum_{qp=m}f(p)g(q)\end{align*}

证明$R[M]$为一环(称为$M$在$R$上的幺半群环或幺半群代数).

证明    先来说明加法和乘法的封闭性,由题意对任意的$f\in R[M]$等价于$f$取值不为零的点有限,由此显然$$f+g\in R[M],f\cdot g\in R[M]$$

易验证$\{R[M];+\}$构成Abel群,零元为$0$.再来考虑$\{R[M];\cdot\}$,结合律容易验证.所以说$R[M]$是环.

8.设$R$为交换幺环,$M$为非负整数对加法构成的幺半群.证明$M$在$R$上的幺半群环$R[M]$与$R$上的一元多项式环$R[x]$同构.

证明    任取$f\in R[M]$,令$$g_{f}(x)=\sum_{i=0}^{\infty}f(i)x^i$$.做映射\begin{align*}\phi:R[M]&\to R[x]\\f&\mapsto g_{f}\end{align*}

易证$\phi$是环同构.因此$$R[M]\simeq R[x].$$