1.说白话一点：闭包就是由一个属性直接或间接推导出的所有属性的集合。

         例如：f={a->b，b->c，a->d，e->f}；由a可直接得到b和d，间接得到c，则a的闭包就是{a，b，c，d}

2.

候选码的求解理论和算法

　　对于给定的关系R（A1，A2，…An）和函数依赖集F，可将其属性分为4类：

　　　　L类  仅出现在函数依赖左部的属性。

　　　　R 类  仅出现在函数依赖右部的属性。

　　　　N 类  在函数依赖左右两边均未出现的属性。

　　　　LR类  在函数依赖左右两边均出现的属性。

　　定理：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）是L类属性，则X必为R的任一候选码的成员。

　　推论：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）是L类属性，且X⁺包含了R的全部属性；则X必为R的唯一候选码。

　　例（2）：设有关系模式R（A，B，C，D），其函数依赖集F={D→B，B →D，AD →B，AC →D}，求R的所有候选码。

　　       解：考察F发现，A，C两属性是L类属性，所以AC必是R的候选码成员，又因为（AC）⁺=ABCD，所以AC是R的唯一候选码。

　　定理：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）是R类属性，则X不在任何候选码中。

　　定理：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）是N类属性，则X必包含在R的任一候选码中。

　　推论：对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，若X（X∈R）是L类和N类组成的属性集，且X⁺包含了R的全部属性；则X是R的唯一候选码。

3.求最小函数依赖集分三步:

1.将F中的所有依赖右边化为单一元素

此题fd={abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h};已经满足

2.去掉F中的所有依赖左边的冗余属性.

作法是属性中去掉其中的一个,看看是否依然可以推导

此题:abd->e,去掉a,则(bd)+不含e,故不能去掉,同理b,d都不是冗余属性

ab->g,也没有

cj->i,因为c+={c,j,i}其中包含i所以j是冗余的.cj->i将成为c->i

F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};

3.去掉F中所有冗余依赖关系.

做法为从F中去掉某关系,如去掉(X->Y),然后在F中求X+,如果Y在X+中,则表明x->是多余的.需要去掉.

此题如果F去掉abd->e,F将等于{ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h},而(abd)+={a,d,b,f,g,h},其中不包含e.所有不是多余的.

同理(ab)+={a,b,f}也不包含g,故不是多余的.

b+={b}不多余,c+={c,i}不多余

c->i,g->h多不能去掉.

所以所求最小函数依赖集为 F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};

4.判断模式分解是否为无损连接

方法一：无损连接定理

关系模式R(U，F)的一个分解，ρ={R₁<U₁,F₁>,R₂<U₂,F₂>}具有无损连接的充分必要条件是：

U₁∩U₂→U₁-U₂ €F⁺ 或U₁∩U₂→U2 -U1€F⁺

方法二：算法

ρ={R₁<U₁,F₁>,R₂<U₂,F₂>,...,R_k<U_k,F_k>}是关系模式R<U,F>的一个分解，U={A₁,A₂,...,A_n}，F={FD₁,FD₂,...,FD_p}，并设F是一个最小依赖集，记FD_i为X_i→A_lj，其步骤如下：

① 建立一张n列k行的表，每一列对应一个属性，每一行对应分解中的一个关系模式。若属性A_j U_i，则在j列i行上真上a_j，否则填上b_ij；

② 对于每一个FD_i做如下操作：找到X_i所对应的列中具有相同符号的那些行。考察这些行中l_i列的元素，若其中有a_j，则全部改为a_j，否则全部改为b_mli，m是这些行的行号最小值。

如果在某次更改后，有一行成为：a₁,a₂,...,a_n，则算法终止。且分解ρ具有无损连接性，否则不具有无损连接性。

对F中p个FD逐一进行一次这样的处理，称为对F的一次扫描。

③ 比较扫描前后，表有无变化，如有变化，则返回第② 步，否则算法终止。如果发生循环，那么前次扫描至少应使该表减少一个符号，表中符号有限，因此，循环必然终止。

举例1：已知R<U,F>，U={A,B,C}，F={A→B}，如下的两个分解：

① ρ₁={AB,BC}

② ρ₂={AB,AC}

判断这两个分解是否具有无损连接性。

①因为AB∩BC=B，AB-BC=A，BC-AB=C

② 因为AB∩AC=A，AB-AC=B，AC-AB=C

所以A→B €F⁺，A→C ￠F⁺

故ρ₂是无损连接。

举例2：已知R<U,F>，U={A,B,C,D,E}，F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}，R的一个分解为R₁(AD)，R₂(AB)，R₃(BE)，R₄(CDE)，R₅(AE)，判断这个分解是否具有无损连接性。

 ① 构造一个初始的二维表，若“属性”属于“模式”中的属性，则填a_j，否则填b_ij

② 根据A→C，对上表进行处理，由于属性列A上第1、2、5行相同均为a₁，所以将属性列C上的b₁₃、b₂₃、b₅₃改为同一个符号b₁₃（取行号最小值）。

③ 根据B→C，对上表进行处理，由于属性列B上第2、3行相同均为a₂，所以将属性列C上的b₁₃、b₃₃改为同一个符号b₁₃（取行号最小值）。

④ 根据C→D，对上表进行处理，由于属性列C上第1、2、3、5行相同均为b₁₃，所以将属性列D上的值均改为同一个符号a₄。

⑤ 根据DE→C，对上表进行处理，由于属性列DE上第3、4、5行相同均为a₄a₅，所以将属性列C上的值均改为同一个符号a₃。

⑥ 根据CE→A，对上表进行处理，由于属性列CE上第3、4、5行相同均为a₃a₅，所以将属性列A上的值均改为同一个符号a₁。

⑦ 通过上述的修改，使第三行成为a₁a₂a₃a₄a₅，则算法终止。且分解具有无损连接性。

5.3NF

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