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动态规划解不包含相同数字的子串个数问题
比赛描述
仙灵女巫露露,对于魔法的热忱可是超出常人,要是发现了什么上古遗留下的魔法,她总是想方设法地获得,然后研究分析。而最近,他又从邪恶小法师维嘉那里获得了一个“奇怪”的魔法卷轴;
这个魔法卷轴上有一大串数字,而且根据卷轴上的描述,这个魔法的威力指数来自于这一串数字中“魔法区间”的数量;
所谓“魔法区间”指的是一段连续的闭区间,且这段区间上的所有数字均不相同;
现在,露露想知道这个魔法的威力指数,你能帮帮她么?
输入
先输入一个正整数T,表示样例个数,1≤T≤10。
对于每一个样例,先输入一个正整数n,表示卷轴上的数字个数(1≤n≤106);
再输入n个整数,第i个数ai,表示卷轴上第i个数(0≤ai≤106)。
输出
对于每个样例,输出一个正整数,即威力指数。
题目保证结果在int范围内。
样例输入
1
3
1 2 3
样例输出
6
提示
读入数据请使用 scanf();
对于样例,共有{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,2,3},6个魔法区间,所以威力为6。
思路:
优化
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int f(int n) { return (n+1)*n/2; } int num[1000000]; int mark[1000000]; int main() { int i,j,n,T; scanf("%d",&T); //cin>>T; while(T--) { cin>>n; memset(mark,0,sizeof(mark)); for(i=0;i<n;i++) { scanf("%d",&num[i]); // cin>>num[i]; } int sum=0; for(i=0;i<n;i++) { int temp=0; int limit=0; for(j=i-1;j>=limit;j--) { if(num[j]==num[i]) break; temp++; if(mark[j]>limit) limit=mark[j]; } mark[i]=j+1; // cout<<i<<" "<<temp+1<<endl; sum+=temp+1; } // cout<<"limit:"; // for(i=0;i<n;i++) // cout<<mark[i]<<" "; // cout<<endl; cout<<sum<<endl; } }
进一步优化
这个做法并非smart,实际上,我们应该保存的不应该是每一个数字前一个数字的位置,尽管这样可以帮助我们减少回溯的距离,不过仔细想想,在第i+1个位置能回溯的距离,不是仅仅和第i个位置能回溯的距离有关吗?
我们来整理一下思路,假设我们之前有i个数字,并且已经得到了一个解(动态规划的立足点),那么当加入第i+1个数字时,得到的解可以通过求F(i+1)(包含第i+1个数字的区间数)来得到, 而 这个区间数其实就是包含第i+1个数字的最长的魔法空间的长度。 而这个长度,实际上就是包含第i个数字的最长的魔法空间的长度再加上1!
没错,对于F来讲, 依然是一个动态规划问题,不过是一个非常简单的动态规划问题:
F(i+1)=F(i)+1 (3)
但是我们仍然要拿到mark[num[i+1]], 因为前一个与第i+1个数字相同的数字J可能包含于F(i)所代表的魔法区间中, 而现在因为加入了i+1个数字,所以J会“截断”F(i).
所以对于这个问题,我们不必再去回溯(也就是说现在的时间复杂度是On ), 只需在考察第i+1个数字时,分析两种情况:
包含第i个数字的最长空间不含有与i+1 相同的数字: 那么F(i+1)=F(i)+1
否则 F(i+1)= i+1 -j .
注意文章中的变量名称与程序不是完全对应的。程序的实现手段可能更加抽象, 但是思路就是上文所述。
代码敬上
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int num[1000001]; int limit[1000001]; int max_[1000001]; int main() { int i,j,n,T; scanf("%d",&T); // scanf_(T); while(T--) { scanf("%d",&n); // scanf_(n); memset(max_,-1,sizeof(max_)); for(i=0;i<n;i++) { scanf("%d",&num[i]); //scanf_(num[i]); } int sum=1; max_[num[0]]=0; limit[0]=0; for(i=1;i<n;i++) { if(max_[num[i]]<limit[i-1]) { sum+=(i-limit[i-1]+1); limit[i]=limit[i-1]; } else { sum+=i-max_[num[i]]; limit[i]=max_[num[i]]+1; } max_[num[i]]=i; } printf("%d\n",sum); } }
动态规划解不包含相同数字的子串个数问题