最长递增子序列问题是一个很基本、较常见的小问题，但这个问题的求解方法却并不那么显而易见，需要较深入的思考和较好的算法素养才能得出良好的算法。由于这个问题能运用学过的基本的算法分析和设计的方法与思想，能够锻炼设计较复杂算法的思维，我对这个问题进行了较深入的分析思考，得出了几种复杂度不同算法，并给出了分析和证明。

一，    最长递增子序列问题的描述

设L=<a₁,a₂,…,a_n>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<a_K1,a_k2,…,a_km>，其中k₁<k₂<…<k_m且a_K1<a_k2<…<a_km。求最大的m值。

二，    第一种算法：转化为LCS问题求解

设序列X=<b₁,b₂,…,b_n>是对序列L=<a₁,a₂,…,a_n>按递增排好序的序列。那么显然X与L的最长公共子序列即为L的最长递增子序列。这样就把求最长递增子序列的问题转化为求最长公共子序列问题LCS了。

最长公共子序列问题用动态规划的算法可解。设Li=< a₁,a₂,…,a_i>,Xj=< b₁,b₂,…,b_j>，它们分别为L和X的子序列。令C[i,j]为Li与Xj的最长公共子序列的长度。则有如下的递推方程：

这可以用时间复杂度为O(n²)的算法求解，由于这个算法上课时讲过，所以具体代码在此略去。求最长递增子序列的算法时间复杂度由排序所用的O(nlogn)的时间加上求LCS的O(n²)的时间，算法的最坏时间复杂度为O(nlogn)＋O(n²)＝O(n²)。

三，    第二种算法：动态规划法

设f(i)表示L中以a_i为末元素的最长递增子序列的长度。则有如下的递推方程：

这个递推方程的意思是，在求以a_i为末元素的最长递增子序列时，找到所有序号在L前面且小于a_i的元素a_j，即j<i且a_j<a_i。如果这样的元素存在，那么对所有a_j,都有一个以a_j为末元素的最长递增子序列的长度f(j)，把其中最大的f(j)选出来，那么f(i)就等于最大的f(j)加上1，即以a_i为末元素的最长递增子序列，等于以使f(j)最大的那个a_j为末元素的递增子序列最末再加上a_i；如果这样的元素不存在，那么a_i自身构成一个长度为1的以a_i为末元素的递增子序列。

public void lis(float[] L)  {         int n = L.length;         int[] f = new int[n];//用于存放f(i)值；         f[0]=1;//以第a1为末元素的最长递增子序列长度为1；         for(int i = 1;i<n;i++)//循环n-1次         {                f[i]=1;//f[i]的最小值为1；                for(int j=0;j<i;j++)//循环i 次                {                       if(L[j]<L[i]&&f[j]>f[i]-1)                              f[i]=f[j]+1;//更新f[i]的值。                }         }         System.out.println(f[n-1]);              }

最长公共子序列1---求最长公共子序列的长度：

给定一个长度为N的数组，找出一个最长的单调自增子序列（不一定连续，但是顺序不能乱）
例如：给定一个长度为8的数组A{1,3,5,2,4,6,7,8}，则其最长的单调递增子序列为{1,2,4,6,7,8}，长度为6.

输入描述:

第一行包含一个整数T，代表测试数据组数。
对于每组测试数据：N-数组的长度
a1 a2 ... an （需要计算的数组）
保证：
1<=N<=3000,0<=ai<=MAX_INT.

输出描述:

对于每组数据，输出一个整数，代表最长递增子序列的长度。

输入例子:

2789 256 78 1 46 78 856 4 8 2 17

解题思路：采用动态规划的方法来解，如下：

import java.util.*;public class Main{    public static void main(String[] args){            Scanner scan = new Scanner(System.in);        int T = scan.nextInt();//        System.out.println(T);        for(int i=0;i<T;i++){            int N = scan.nextInt();//            System.out.println(N);            int[] num = new int[N];            for(int j=0;j<N;j++){                num[j] = scan.nextInt();            }           System.out.println(lengthOfMaxSubIncreaseArray(num, N));        }    }        public static int lengthOfMaxSubIncreaseArray(int[] array, int n){        if(n==1){            return 1;        }        int maxLen = 0;        int[] list = new int[n];        for(int i=0;i<n;i++){            list[i]=1;            for(int j=0;j<i;j++){                if(array[j]<array[i]&&list[j]+1>list[i]){                    list[i] = list[j]+1;                }            }        }        for(int i=0;i<n;i++){            if(list[i]>maxLen)                maxLen = list[i];        }        return maxLen;    }}

最长公共子序列2----求最长公共子序列的第一组序列：

给定一个长度为N的数组，找出一个最长的单调自增子序列（不一定连续，但是顺序不能乱）
例如：给定一个长度为8的数组A{1,3,5,2,4,6,7,8}，则其最长的单调递增子序列为{1,2,4,6,7,8}，长度为6.

输入描述:

第一行包含一个整数T，代表测试数据组数。
对于每组测试数据：
N-数组的长度
a1 a2 ... an （需要计算的数组）
保证：
1<=N<=3000,0<=ai<=MAX_INT.

输出描述:

对于每组数据，输出一个整数序列，代表最长递增子序列。
若有多组最长上升子序列，输出第一组。
保证：1<=T<=20,1<=N<=3000,0<=ai<=MAX_INT.

输入例子:

2789 256 78 1 46 78 856 4 8 2 17

输出例子:

1 46 786 8 17

最长公共子序列问题---动态规划