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最长公共子序列---动态规划

2024-07-08 08:07:05   231人阅读

一： 作用

       最长公共子序列的问题常用于解决字符串的相似度，是一个非常实用的算法，作为码农，此算法是我们的必备基本功。

二：概念

     举个例子，cnblogs这个字符串中子序列有多少个呢？很显然有27个，比如其中的cb,cgs等等都是其子序列，我们可以看出

子序列不见得一定是连续的，连续的那是子串。

     我想大家已经了解了子序列的概念，那现在可以延伸到两个字符串了，那么大家能够看出：cnblogs和belong的公共子序列吗？

在你找出的公共子序列中，你能找出最长的公共子序列吗？

从图中我们看到了最长公共子序列为blog，仔细想想我们可以发现其实最长公共子序列的个数不是唯一的，可能会有两个以上，

但是长度一定是唯一的，比如这里的最长公共子序列的长度为4。

 

三：解决方案

<1> 枚举法

       这种方法是最简单，也是最容易想到的，当然时间复杂度也是龟速的，我们可以分析一下，刚才也说过了cnblogs的子序列

个数有27个 ，延伸一下：一个长度为N的字符串，其子序列有2N个，每个子序列要在第二个长度为N的字符串中去匹配，匹配一次

需要O(N)的时间，总共也就是O(N*2N)，可以看出，时间复杂度为指数级，恐怖的令人窒息。

 

<2> 动态规划

      既然是经典的题目肯定是有优化空间的，并且解题方式是有固定流程的，这里我们采用的是矩阵实现，也就是二维数组。

第一步：先计算最长公共子序列的长度。

第二步：根据长度，然后通过回溯求出最长公共子序列。

现有两个序列X={x1,x2,x3，...xi}，Y={y1,y2,y3，....，yi}，

设一个C[i,j]: 保存Xi与Yj的LCS的长度。

递推方程为：


代码

 1 package digui_fenzhi; 2  3 public class LCSProblem{ 4     public static void main(String[] args){ 5         String[] x = {"", "A", "B", "C", "B", "D", "A", "B"}; 6         String[] y = {"", "B", "D", "C", "A", "B", "A"}; 7         int[][] b = getLength(x, y); 8         Display(b, x, x.length-1, y.length-1); 9     }10     public static int[][] getLength(String[] x, String[] y){11         int[][] b = new int[x.length][y.length];12         int[][] c = new int[x.length][y.length];13         for(int i=1; i<x.length; i++){14             for(int j=1; j<y.length; j++){15                 if( x[i] == y[j]){16                     c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;17                     b[i][j] = 1;18                 }else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){19                     c[i][j] = c[i-1][j];20                     b[i][j] = 0;21                 }else{22                     c[i][j] = c[i][j-1];23                     b[i][j] = -1;24                 }25             }26         }27         return b;28     }29     public static void Display(int[][] b, String[] x, int i, int j){30         if(i == 0 || j == 0)31         return;32         if(b[i][j] == 1){33             Display(b, x, i-1, j-1);34             System.out.print(x[i] + " ");35         }36         else if(b[i][j] == 0){37             Display(b, x, i-1, j);38         }39         else if(b[i][j] == -1){40             Display(b, x, i, j-1);41         }42     }43 }

 


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