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动态规划 最长公共子序列

最长公共子序列(LCS)问题

下面通过一个具体的例子来学习动态规划方法 —— 最长公共子序列问题。

最长公共子串(Longest Common Substring)最长公共子序列(Longest Common Subsequence)的区别: 子串要求在原字符串中是连续的,而子序列则只需保持相对顺序,并不要求连续。

问题描述:给定两个序列:X[1...m]Y[1...n],求在两个序列中同时出现的最长子序列的长度。

假设 X 和 Y 的序列如下:

      X[1...m] = {A, B, C, B, D, A, B}  

      Y[1...n] = {B, D, C, A, B, A}  

可以看出,X 和 Y 的最长公共子序列有 “BDAB”、“BCAB”、“BCBA”,即长度为4。

1) 穷举法

可能很多人会想到用穷举法来解决这个问题,即求出 X 中所有子序列,看 Y 中是否存在该子序列。

  X 有多少子序列 —— 2m 个

  检查一个子序列是否在 Y 中 —— θ(n)

所以穷举法在最坏情况下的时间复杂度是 θ(n2m),也就是说花费的时间是指数级的,这简直太慢了。

2) 动态规划

首先,我们来看看 LCS 问题是否具有动态规划问题的两个特性。

① 最优子结构

设 C[i,j] = |LCS(x[1...i],y[1...j])|,即C[i,j]表示序列X[1...i]Y[1...j]的最长公共子序列的长度,则 C[m,n] = |LCS(x,y)|就是问题的解。

递归推导式:

技术分享

根据上面的递归推导式,可以写出求LCS长度的递归伪代码:

LCS(x,y,i,j)	if x[i] = y[j]		then C[i,j] ← LCS(x,y,i-1,j-1)+1		else C[i,j] ← max{LCS(x,y,i-1,j),LCS(x,y,i,j-1)}	return C[i,j]

动态规划就是要解决这个问题,通过用一个表来保存子问题的结果,避免重复的计算,以空间换时间。前面我们已经证明,最长公共子序列问题具有动态规划所要求的两个特性,所以 LCS 问题可以用动态规划来求解。

下面是用动态规划(打表)解决LCS问题:

技术分享

 

private static int lcs(char[] x, char[] y, int m, int n) {		if (m == 0 || n == 0) {			return 0;		}		int[][] c = new int[m + 1][n + 1];		for (int i = 1; i < m + 1; i++) {			for (int j = 1; j < n + 1; j++) {				if (x[i - 1] == y[j - 1]) {					c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;				} else {					c[i][j] = Math.max(c[i][j - 1], c[i - 1][j]);				}			}		}		return c[m][n];	}

  

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