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1006 最长公共子序列Lcs(经典动态规划)

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Description

给出两个字符串A B,求A与B的最长公共子序列(子序列不要求是连续的)。

 
比如两个串为:
 
abcicba
abdkscab
 
ab是两个串的子序列,abc也是,abca也是,其中abca是这两个字符串最长的子序列。

Input

第1行:字符串A第2行:字符串B(A,B的长度 <= 1000)

Output

输出最长的子序列,如果有多个,随意输出1个。

Sample Input

abcicbaabdkscab

Sample Output

abca

思路 

记:
Xi=﹤x1,?,xi﹥即X序列的前i个字符 (1≤i≤m)(前缀)

Yj=﹤y1,?,yj﹥即Y序列的前j个字符 (1≤j≤n)(前缀)

假定Z=﹤z1,?,zk﹥∈LCS(X , Y) 。

  • 若xm=yn(最后一个字符相同),则不难用反证法证明:该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z(设长度为k)的最后一个字符,即有zk = xm = yn 且显然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前缀Zk-1是Xm-1与Yn-1的最长公共子序列。此时,问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS(LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1)。

  • 若xm≠yn,则亦不难用反证法证明:要么Z∈LCS(Xm-1, Y),要么Z∈LCS(X , Yn-1)。由于zk≠xm与zk≠yn其中至少有一个必成立,若zk≠xm则有Z∈LCS(Xm-1 , Y),类似的,若zk≠yn 则有Z∈LCS(X , Yn-1)。此时,问题化归成求Xm-1与Y的LCS及X与Yn-1的LCS。LCS(X , Y)的长度为:max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}。

由于上述当xm≠yn的情况中,求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度,这两个问题不是相互独立的:两者都需要求LCS(Xm-1,Yn-1)的长度。另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS,故问题具有最优子结构性质考虑用动态规划法。

也就是说,解决这个LCS问题,你要求三个方面的东西:

    • 1、LCS(Xm-1,Yn-1)+1;
    • 2、LCS(Xm-1,Y),LCS(X,Yn-1);
    • 3、max{ LCS(Xm-1, Y),LCS(X, Yn-1) }。

最长公共子序列的结构

最长公共子序列的结构有如下表示:

设序列X=< x1, x2, …, xm >和Y=< y1, y2, …, yn >的一个最长公共子序列Z=< z1, z2, …, zk >,则:

    • 若xm=yn,则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列;
    • 若xm≠yn且zk≠xm ,则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列;
    • 若xm≠yn且zk≠yn ,则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
      其中Xm-1 = < x1, x2, …, xm-1 >,Yn-1 = < y1, y2, …, yn-1 >,Zk-1 = < z1, z2, …, zk-1 >。

 我们定义c[i, j]表示Xi和Yi的LCS的长度。如果i = 0或j = 0,即一个序列长度为0,那么LCS的长度为0.根据LCS问题的最优子结构性质,可得到如下公式:

  0若i = 0 或 j = 0
c[i, j]=c[i - 1,j - 1] + 1若i, j > 0 且 xi = yi  
  max(c[i, j - 1],c[i - 1, j])若i, j > 0 且 xi≠yi

 

#include<stdio.h>#include<string.h>const int maxn = 1005;int dp[maxn][maxn] = {0};int main(){	char a[maxn],b[maxn],lcs[maxn];	int i,j;	scanf("%s",a);scanf("%s",b);	int lena = strlen(a),lenb = strlen(b);	for (i = 1;i <= lena;i++)	{		for (j = 1;j <= lenb;j++)		{			if (a[i-1] == b[j-1])	dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;			else	dp[i][j] = dp[i][j-1]>dp[i-1][j]?dp[i][j-1]:dp[i-1][j];		}	}	i = lena,j = lenb;	int len = dp[lena][lenb];	lcs[len] = ‘\0‘;	while (dp[i][j])	{		if (dp[i][j] == dp[i-1][j])	i--;		else if (dp[i][j] == dp[i][j-1])	j--;		else lcs[--len] = a[i-1],i--,j--;	}	printf("%s\n",lcs);	return 0;}

  

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