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LCS 最长公共子序列(DP经典问题)

最长公共子序列问题以及背包问题都是DP(动态规划)算法的经典题目,值得深度挖掘以致了解DP算法思想。问题如下:

最长公共子序列

时间限制:3000 ms  |  内存限制:65535 KB
难度:3
描述
咱们就不拐弯抹角了,如题,需要你做的就是写一个程序,得出最长公共子序列。
tip:最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续),英文缩写为LCS(Longest Common Subsequence)。其定义是,一个序列 S ,如果分别是两个或多个已知序列的子序列,且是所有符合此条件序列中最长的,则 S 称为已知序列的最长公共子序列。
输入
第一行给出一个整数N(0<N<100)表示待测数据组数
接下来每组数据两行,分别为待测的两组字符串。每个字符串长度不大于1000.
输出
每组测试数据输出一个整数,表示最长公共子序列长度。每组结果占一行。
样例输入
2
asdf
adfsd
123abc
abc123abc
样例输出
3
6

算法分析:根据题意,我们需要找出任意两个字符串中相同的最长序列(不需要1对1完全相同),那么就题中的第一组数据,我们可以起于a也可以起于d或者f,这有着多种不同的情况,所以需用动态规划解决问题,对于LCS可能包含在s与ti-1,也可能存在于si-1与ti中,抑或si与ti之间,这使得我们意识到最后一个相同点就是解题的出发点,存在二种情况:

若s1[i]==s2[j], dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1否则,dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

得到DP方程为


一维DP代码如下:

 
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
char s1[1001], s2[1001];
int dp[1001], t, x, y;
int main(){
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>s1>>s2;
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		int lenS1=strlen(s1), lenS2=strlen(s2);
		for(int i=0; i<lenS1; i++){
			x=0;
			for(int j=0; j<lenS2; j++){
				y = dp[j];
				if(s1[i]==s2[j]) dp[j] = x+1;
				else if(dp[j-1]>dp[j]) dp[j]=dp[j-1];
				x = y;
			}
		}
		cout<<dp[lenS2-1]<<"\n";
	}
	return 0;
}        

二维DP代码如下:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX 1000
int dp[MAX+1][MAX+1];
char s[MAX],t[MAX];
int max(int a,int b)
{return a>b?a:b;}
int main()
{
	int N,i,j,n,m;
	scanf("%d",&N);
	while(N--)
	{
		scanf("%s%s",s,t);
		int x=strlen(s),y=strlen(t);
		for(i=0;i<x;i++)
		{
			for(j=0;j<y;j++)

				if(s[i]==t[j])
					dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
				else
					dp[i+1][j+1]=max(dp[i+1][j],dp[i][j+1]);
		}
		printf("%d\n",dp[i][j]);			
	}
	return 0;
}