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最长公共子序列问题—— 动态规划法

2024-07-16 16:03:27   220人阅读

    经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。
    为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。
【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列
问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
求解：
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
注：对于b[i][j]的理解，求解最长公共子序列，最长的子序列的获得可能是在上一步求解基础上X序列方向上递增一个得到的，有可能是Y序列方向上递增一个得到的，也有可能是X序列和Y序列同时递增一个得到的。所以程序中使用了0，1，-1来赋值给b[][]数组，表示当前位置对应的c[][]数组中的最优解是来自于左上方（0）、1（上方）或-1（左方）。
所以问题的的求解过程可以描述为：

求解过程中c[][]数组中的值为：

分析：在数组c中使用了多余的一行c[0]和多余的一列c[][0]，这样做的好处是，这一行和这一列赋上初值0之后，会简化后面的计算，因为上面的分析下一步的最优解可能来自于左上、上、左三个方向的值。可以看到c[][]数组中每一个位置上的值都是两个序列长度分别为i和j时最长子序列的值。

程序为：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;
    
    for(i = 0; i <= m; i++) /*冗余的列赋初值为0*/
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++) /*冗余的行赋初值为0*/
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i<= m; i++)
    {
        for(j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(x[i-1] == y[j-1]) /*来自性质(1)*/
            {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 0;
            }
            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) /*来自性质(2)*/
            {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 1;
            }
            else /*来自性质(3)*/
            {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = -1;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j)
{
    if(i == 0 || j == 0)
        return;
    if(b[i][j] == 0)
    {
        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
        printf("%c ", x[i-1]);
    }
    else if(b[i][j] == 1)
        PrintLCS(b, x, i-1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j-1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
    char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};
    char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m, n;
    
    m = strlen(x);
    n = strlen(y);
    
    LCSLength(x, y, m, n, c, b); /*计算最长公共序列*/

	/*输出最长公共序列，可能有多个解，这里只输出一个*/
	printf("Answer is: ");
	PrintLCS(b, x, m, n); 
	printf("\n");
    
    return 0;
}

程序输出结果：

注意：程序的解可能远不止这一个，因为从图上可以至少再得出BCAB以及BDAB两个解，如果要得出每一个解，需要完善的地方是在c[][]最后一行和最后一列，有许多值都跟c[m][n]也就是其最后一个单元的值一致，这种一致的值也可能是一个最优解（当然也可能是重复的），最优的解一定都在这两条直线上，因为有c[i][j] >= c[i-1][j]、c[i][j] >= c[i][j-1]、c[i][j] > c[i-1][j-1]总是成立。另外在程序中当x[i-1] != y[j-1]，本来应该取左方的值或者上方的值，但是左方的值和上方的值有可能是相等的，程序中并没有单独处理，这个时候可以用一个判等的将方向的数组b赋值为2（只要不是0,1,-1即可），表示这个值可以接收来自两个方向，这样才能保证解的完整性，这里就不具体实现了。

参考博文：http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630


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