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算法——动态规划篇——最长公共子序列

问题描写叙述

     最长公共子序列,英文缩写为LCS(Longest Common Subsequence)。其定义是,一个序列 S ,假设各自是两个或多个已知序列的子序列,且是全部符合此条件序列中最长的,则 S 称为已知序列的最长公共子序列。  

    解决最长公共子序列,一种经常使用的办法,就是穷举法,组合出全部的情况,可是这样对于长序列的情况来说,是很不实际。。

如果如今有两个序列,x[]={‘A‘,‘B‘,‘C‘,‘B‘,‘D‘,‘A‘,‘B‘};y[]={‘B‘,‘D‘,‘C‘,‘A‘,‘B‘,‘A‘};

假设採用穷举的方式,会是下面情况

x:A,B,C,B,D,A,B

y:B,D,C,A,B,A

A与B比較,一直到A与Y中出现的第一个A遇到事停止(红色部分),然后再从X序列中的B与Y中B開始比較,(绿色部分),接着这样下去,直观上看,运行这一次遍历,就是n*n的代价,要是把全部的可能都遍历一下,代价太大了。。


仅仅有採用其它的方法了,

动态规划:

观察到序列求解过程中,有一定的相似度,比方说,假设我们的序列是X:A,B,C;Y:B,D,C;因为Xc=Yc,全部要往前面的两个元素看,也就是比較X:A,B;Y:B,D,因为Xb!=Yd,那么我们须要推断X:A;Y:B,D的最大序列,以及X:A,B;YB的最大序列,取两者中最大的一个,保留下来,作为X:A,B;Y:B,D的最大序列值。

分析问题的时候一直要先从总体上来把握,体会他的总体局部的相关性,而不是孤立出来,仅仅是单纯的从元素本身来推断,那样就不好明确问题的规律。。。

最后还是翻看了算法导论,才明确这一点,没有把握住,问题的本质。。

最长子序列的规律:

c[i][j]={

0  ,i=0||j=0

c[i-1][j-1]+1  ,i,j>0&&xi=yj

        max(c[i-1][j],c[i][j-1]),i,j>0&&xi!=yj

}


分析清楚问题真的非常重要。。。。把握问题的本质。。。


代码例如以下:

package hello.ant;
//最长公共子序列
public class AlogLCS {
	public static void main(String[] args) {
		char x[]={'A','B','C','B','D','A','B'};
		char y[]={'B','D','C','A','B','A'};
		
		int c[][]=new int[x.length+1][y.length+1];
		//////////////    ^|^               ~~               ~~~
		/////////////      |               ~ -------            ~~~
		//////////////     |                ~~                      ~~
		//////////////     用0表示向上       1向左                           		2表示斜向左上
		int flag[][]=new int[x.length+1][y.length+1];//用来控制打印的方向
		
		//初始化
		for(int i=0;i<y.length+1;i++){
			c[0][i]=0;
		}
		for(int i=0;i<x.length+1;i++){
			c[i][0]=0;
		}
		for(int i=1;i<x.length+1;i++){
			for(int j=1;j<y.length+1;j++){
				if(x[i-1]==y[j-1]){
					c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
					flag[i][j]=2;
				}else {
					if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){
						c[i][j]=c[i-1][j];
						flag[i][j]=0;
					}else {
						c[i][j]=c[i][j-1];
						flag[i][j]=1;
					}
				}
			}
		}
		StringBuilder result=new StringBuilder();
		display(x,flag,x.length,y.length,result);
		System.out.println("\n*********");
		System.out.println(result.reverse().toString());
	}

	static void display(char[] x, int[][] flag, int i, int j,StringBuilder result) {
		if(i==0||j==0){
			return;
		}
		if(flag[i][j]==2){
			System.out.print(x[i-1]+"  ");
			result.append(x[i-1]);
			display(x, flag, i-1, j-1,result);
		}else if(flag[i][j]==1){
			display(x, flag, i, j-1,result);
		}else if(flag[i][j]==0){
			display(x, flag, i-1, j,result);
		}
	}
}

结果例如以下:

A  B  C  B  
*********
BCBA


红色部分才是真正的最长子序列。。。