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bnuoj Musical Chairs 约瑟夫环非递归

2024-08-05 15:07:13   217人阅读

/*问题描述：n个人（编号0~(n1-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。


我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n1-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n1的人开始）:
k k+1 k+2 ... n1-2, n1-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。


现在我们把他们的编号做一下转换：
n1=n+1;


k --> 0-->0
k+1 --> 1-->1
k+2 --> 2-->2
...     
...     
k-2 --> n1-2-->n-1
k-1 --> n1-1-->n




                                                        (3)
(1)   (2)                                               +k                 
k --> 0                                                 --> k
k+1 --> 1                                                -->k+1
k+2 --> 2                                               -->k+2
...                                                     ...
...                                                     ...
n1-2-> (n1-2-k)                                          -->(n1-2-k)+k
n1-1-> (n1-1-k)                                          -->(n1-1-k)+k
0  --> (n1-1-k)+(1)                                       -->(n1-1-k)+(1)+k
1  --> (n1-1-k) +(2)                                    -->(n1-1-k)+(2)+k
...
...
k-2 -->  n1-1-k+(k-1)(根据上面的对应关系他的值为n1-2=n-1)               -->(n1-1-k)+(k-1)+k
k-1 -->  n1-1-k+(k) (根据上面的对应关系他的值为n1-1=n)                  -->(n1-1-k)+(k)+k
 n1=n+1带入(3)后  (1)≡(3)(mod n1)即下图右边加k后与左边是关于n1是同余的
 k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n1-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么
根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：
x‘=(x+k)%n1,k=m%n1，因为k是余数，所以比n1小,x‘=(x%n1+k)%n1=(x%n1+m%n1)%n1=(x+m)%n即x‘=(x+m)%n1,即知道当前n个数的解为x，
n1=n+1,m是固定的，通过公式就能求出来，如何知道(n1-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n1-2)个人的解就行了。(n1-2)个人的解呢？当然是
先求(n1-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：令f[i]表示i个人玩游戏
报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

*/

#include<stdio.h>
int main()
{
    int n,m,i,s;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n+m)!=0)
    {
        s=0;
        for(i=2;i<=n;i++)
            s=(s+m)%i;
        printf("%d %d %d\n",n,m,s+1);
    }
    return 0;
}

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