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【bzoj1283】序列 线性规划与费用流
题目描述
给出一个长度为 的正整数序列Ci，求一个子序列，使得原序列中任意长度为 的子串中被选出的元素不超过K(K,M<=100) 个，并且选出的元素之和最大。
输入
第1行三个数N,m,k。 接下来N行，每行一个字符串表示Ci。
输出
最大和。
样例输入
10 5 3
4 4 4 6 6 6 6 6 4 4
样例输出
30
题解
线性规划与费用流
关于线性规划与费用流的具体讲解参见 bzoj1061 。
这道题和那道差不多，都是给出一大堆限制条件，每个变量在限制条件中的出现是连续的。
所以我们可以按照那道题的思路来做。
原始限制条件是$\begin{cases}0\le x_i\le1\\x_1+x_2+...+x_m\le k\\x_2+x_3+...+x_{m+1}\le k\\...\\x_{n-m+1}+x_{n-m+2}+...+x_n\le k\end{cases}$，
转化为相等关系为$\begin{cases}0\le x_i\le1\\y_i\ge0\\x_1+x_2+...+x_m+y_1\le k\\x_2+x_3+...+x_{m+1}+y_2\le k\\...\\x_{n-m+1}+x_{n-m+2}+...+x_n+y_{n-m+1}\le k\end{cases}$，
添加恒等关系0=0，上下差分并移项得$\begin{cases}x_1+x_2+...+x_m+y_1-k=0\\x_{m+1}-x_1+y_2-y_1=0\\x_{m+2}-x_2+y_3-y_2=0\\...\\x_{n-1}-x_{n-m-1}+y_{n-m}-y_{n-m-1}=0\\x_n-x_{n-m}+y_{n-m+1}-y_{n-m}=0\\-x_{n-m+1}-x_{n-m+2}-...-x_n-y_{n-m+1}+k=0\end{cases}$。
根据这个建图，将这n-m+2个限制条件看作点，那么S->1，容量为k，费用为0；n-m+2->T，容量为k，费用为0；i->i+1，容量为inf，费用为0；对于每个变量xi，判断它系数为+1的位置和系数为-1的位置，+1向-1连边。容量为1，费用为ci。
然后跑最大费用最大流出解，具体地，将费用取相反数，跑最小费用最大流，再反过来即可。
#include <cstdio>#include <cstring>#include <queue>#define N 1500#define M 30000#define inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;queue<int> q;int head[N] , to[M] , val[M] , cost[M] , next[M] , cnt = 1 , s , t , dis[N] , from[N] , pre[N];void add(int x , int y , int v , int c){ to[++cnt] = y , val[cnt] = v , cost[cnt] = c , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt; to[++cnt] = x , val[cnt] = 0 , cost[cnt] = -c , next[cnt] = head[y] , head[y] = cnt;}bool spfa(){ int x , i; memset(from , -1 , sizeof(from)); memset(dis , 0x3f , sizeof(dis)); dis[s] = 0 , q.push(s); while(!q.empty()) { x = q.front() , q.pop(); for(i = head[x] ; i ; i = next[i]) if(val[i] && dis[to[i]] > dis[x] + cost[i]) dis[to[i]] = dis[x] + cost[i] , from[to[i]] = x , pre[to[i]] = i , q.push(to[i]); } return ~from[t];}int mincost(){ int ans = 0 , i , k; while(spfa()) { k = inf; for(i = t ; i != s ; i = from[i]) k = min(k , val[pre[i]]); ans += k * dis[t]; for(i = t ; i != s ; i = from[i]) val[pre[i]] -= k , val[pre[i] ^ 1] += k; } return ans;}int main(){ int n , m , k , i , x; scanf("%d%d%d" , &n , &m , &k) , s = 0 , t = n - m + 3; add(s , 1 , k , 0) , add(n - m + 2 , t , k , 0); for(i = 1 ; i <= n - m + 1 ; i ++ ) add(i , i + 1 , inf , 0); for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) { scanf("%d" , &x); if(i <= m) add(1 , i + 1 , 1 , -x); else if(i > n - m) add(i - m + 1 , n - m + 2 , 1 , -x); else add(i - m + 1 , i + 1 , 1 , -x); } printf("%d\n" , -mincost()); return 0;}
【bzoj1283】序列 线性规划与费用流