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codeforces 277.5 div2 F：组合计数类dp

2024-08-02 23:27:19   230人阅读

题目大意：

求一个 n*n的 (0,1)矩阵，每行每列都只有两个1 的方案数

且该矩阵的前m行已知

分析：

这个题跟牡丹江区域赛的D题有些类似，都是有关矩阵的行列的覆盖问题

牡丹江D是求概率，这个题是方案数，也比较相似。。

这种题中，因为只要求方案数。。我们只要关注几行几列有几个1，而不必要关注具体的位置

题解：

行列都需要处理，因此考虑记录列的状态，然后一行一行的转移

最暴力的方程：

dp[i][j][k][t] 表示已经确定了 i 行 有 j列已经有两个1，有k列只有一个1，有t列一个1也没有的方案数

很显然 第i+1行的两个1 只能放在k列中 或者 t列中

状态转移方程乘上组合数也是很好写的

但是这个方程显然过于暴力。。需要优化

首先，显然 j+k+t=n 因此 t 就不用枚举了

方程变为n3，由于cf服务器很强大，已经可以过了。。

然后又发现 ，前 i 行 应该有且只有 2i 个1 ，所以显然 k=2* i - j

k也不用枚举了。。

最终得到一个二维的dp

代码如下：

 

#include <iostream>#include <stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#include<string>#include<ctype.h>using namespace std;#define MAXN 10000int n,m,mod;int dp[2][501];char s[501];int num[501];void ini(){    memset(num,0,sizeof(num));    //memset(dp,0,sizeof(dp));    for(int i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%s",s);        for(int i=0;i<n;i++)        {            num[i]+=s[i]-‘0‘;        }    }    int j=0;    for(int i=0;i<n;i++)    {        if(num[i]==2)            j++;    }    dp[m%2][j]=1;}void solve(){    for(int i=m+1;i<=n;i++)    {        for(int j=0;j<=n;j++)        {            if(!dp[(i-1)%2][j])                continue;            int k=2*(i-1)-2*j;            int t=n-j-k;            if(k<0)                break;            if(j<=n-2&&k>=2)            {                dp[i%2][j+2]+=(long long)dp[(i-1)%2][j]*k*(k-1)/2%mod;                dp[i%2][j+2]%=mod;            }            if(t>=2)            {                dp[i%2][j]+=(long long)dp[(i-1)%2][j]*(t)*(t-1)/2%mod;                dp[i%2][j]%=mod;            }            if(t&&k)            {                dp[i%2][j+1]+=(long long)dp[(i-1)%2][j]*(t)*k%mod;                dp[i%2][j+1]%=mod;            }            dp[(i-1)%2][j]=0;        }    }    printf("%d\n",dp[n%2][n]);}int main(){    while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod)!=EOF)    {        ini();        solve();    }    return 0;}

 

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