回归

1）多元线性回归

（1）模型建立

多元线性回归讨论的的是变量y与非随机变量x₁……x_m之间的关系，假设他们具有线性关系，于是有模型：

y =b₀ + b₁x₁ + …… + b_mx_m+ e

这里的e~N（0，a²），b0，……，bn，a²都是未知数。上式矩阵表达式为：

y =xb + e

对于一组样本（x₀₀……x_0m，y₀）……（x_n0……x_nm，y_n）观测值，这时对每个观测值有：

y_i = b₀ + b₁x_i1 + …… + b_mx_im+ e_i   (i=0，……n)

（2）模型求解

模型求解过程就是完成对回归模型的未知参数的估计，常常采用最小二乘法，即寻找b的估计b^~满足下面的条件：

Σⁿ_i=1(y_i-Σ^m_j=0x_ijb^~_j)² = minΣⁿ_i=1(y_i-Σ^m_j=0x_ijb_j)²

或写成矩阵表达式：

||y-xb^~||²= min||y-xb||²

解得b的估计为：

b^~=(x^Tx)^-1x^Ty

a²的估计为：

a^~2=(1/(n-m-1))[y^Ty-b^~T(x^Ty)]

（3）回归系数及回归方程的显著性检验

1.回归系数的显著性检验

所谓回归系数的显著性检验，就是检验假设H0:b_j=0<-->H1:b_j!=0(j=1，……，m)。在H0成立的条件下，有：

T_j= b^~_j/(C_jja^~)^(1/2)   ~  t(n-m-1)

其中C_jj是C=(x^Tx)^-1主对角线上第j+1个元素。对于给定的显著性水平，计算出T_j的值，查表判断是接受还是拒绝H0。

2.回归方程的显著性检验

回归方程的显著性检验，就是关于H0：b₀=b₁=……=b_m=0<-->H₁:至少有一个b_j!=0(j=1，……，m)的检验问题。在H0成立有：

F = (Q_B(n-m-1))/(Q_Am)   ~  F(m, n-m-1)

其中Q_A=Σⁿ_i=1(y_i-y^~_i)²为剩余平方和，Q_B=Σⁿ_i=1(y^~_i-(1/n)Σⁿ_i=1y_i)²为回归平方和。对于给定的显著性水平，计算出F的值，查表判断是接受还是拒绝H0。

（4）最优回归方程的选择

最优回归方程的选择的一般原则是，寻求一线性回归方程其包含所有对y有显著作用的回归变量，剔除不显著的回归变量，以估计的标准误差a~最小者为最优。一般采用下面几种方法。

1.穷举法

对所有回归变量的可能组合，求出关于y的线性回归方程，从中选出最优者。

2.“只进不出”法

这一方法是根据经验，选定一个回归变量，然后逐个引入其他回归变量，其优点是计算量小，缺点是可能将最优方程遗漏。

3.“只出不进”法

这一方法是先引入所有变量，然后逐一淘汰，选出估计的标准误差a~最小者，优点是计算量小，缺点是可能将最优方程遗漏。

4.“有进有出”，逐步回归法

这一方法的基本思想是，对于全部回归变量，按照其对y的影响程度的大小，及T_j统计量的数值大小，从大到小逐次引入到线性回归方程，没引入一个回归变量后，均对回归系数进行检验，一旦发现作用不显著的回归变量，就加以剔除，如此往复，直到无法进入新的自变量为止。这种方法比穷举法计算量少许多，比“只进不出”和“只出不进”方法不会遗漏最优方程。

（5）稳健回归

在最小二乘法拟合线性回归模型时，我们假定了e_i（i=1,,,,,n）是独立同分布的正太随机变量，在这些假定下讨论了参数估计的优良性质，但在客观实际中，这种假设是很难完全满足的。由于上述问题的存在，往往使最小二乘法得到的拟合结果与实际模型相差很大，这样就很自然的提出：能否构造一种参数估计方法，当实际模型与理论模型相差较小时，其性能变化也较小，对假设条件不敏感，这类方法被称为稳健方法。下面简单介绍一些M估计方法。

M估计是最大似然估计的简称。假设e_i（i=1,,,,,n）独立同分布，则线性回归模型

Y = Xb +

的参数b的M估计b^~由下式给出

Σⁿ_i=1β(y_i-Σ^m_j=0x_ijb^~_j)²= minΣⁿ_i=1β(y_i-Σ^m_j=0x_ijb_j)²

或

Σⁿ_i=1π(y_i-Σ^m_j=0x_ijb^~_j)x_ik= 0,  k=0, 1,……, m。

这里β和π是适当选取的实数，一般β是对称的凸函数，或者是正半轴上非降的偶函数；而π是有界的奇函数，如果β是可导的凸函数，取π=β^‘，则上述两种定义是等价的。上述方程中的参数求解只能用迭代法求解。

（6）预测

有了回归方程，直接将测试数据带入回归方程，即可得到预测结果。

Pros: Easy to interpret results,computationally inexpensive

Cons: Poorly models nonlinear data

Works with: Numeric values, nominal values

2）基于树形结构的回归（CART）

在前一篇blog中简单的介绍了CART用于分类的情况，其分裂过程与一般的决策树算法类似，只不过选择分裂属性的标准为Gini标准。这里再对CART用于回归（目标属性为连续）的情况进行简单介绍。

（1）CART回归树构建

1.目标预测

假设(x1,y1)，(x2,y2)，……，(xc,yc)是叶子节点l的所有样例，l的类标可以记作：

y~ = (1/c) Σ^c_i=0 y_i

叶子节点中因变量的样例平均值。

2.分裂标准

分裂标准选取可以使树的误差平方和S最小的属性，S表达式如下：

S = Σ_{c∈leaves(T)}Σ_i∈c(y_i-m_c)²

其中m_c = (1/n_c) Σ_i∈c y_i（叶子节点c的预测值）。

3.基本回归树构建的算法步骤

①从包含所有样例的节点开始，计算m_c和S。

②选取可以使S减少最多的属性进行分裂。如果S的减少量小于阈值Δ，或者节点样例个数小于q，或者条件属性有相同的值，停止。（先剪枝）

③否则，在新的节点进行步骤①。

4.连续属性分裂算法

对一个连续待分裂属性列进行排序，并剔除重复出现的那些数字；然后选择相邻两个数值的平均值作为二分阈值，对该属性列进行分裂，计算出相应的S值；然后选择使该属性分裂S最小的二分阈值作为该待分裂属性列的阈值。对所有的连续属性列重复上述步骤，然后选择S最小值对应的属性作为当前节点的分裂属性。这种属性分裂算法不是最优的还有很多其它的改进算法，这里不一一赘述。

5.过拟合问题

    在步骤3中实际上已经给出了一个先剪枝的算法，其缺点是明显的，阈值的选取是一个问题。更好的剪枝算法是后剪枝算法（其缺点是计算量大），常用的有最小期望误判成本（ECM）和最小描述长度（DML）算法。下面给出一个后剪枝算法描述，它根据测试数据及的误差大小来决定是否合并叶子节点：

Split the test data for the given tree:

If the eithersplit is a tree: call prune on that split

Calculate theerror associated with merging two leaf nodes

Calculate theerror without merging

If mergingresults in lower error then merge the leaf nodes

（2）模型树

如果把回归树中的叶子节点换成分段线性函数，那么就变成了模型树，在叶子节点中我们用一个线性回归模型，来拟合叶子节点的部分数据，用该模型对到达叶子节点的数据进行预测，这样就避免了均值所带来的误判。

Pros: Fits complex, nonlinear data

Cons: Difficult to interpret results

Works with: Numeric values, nominal values

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机器学习算法Review之回归