康托展开的公式

　　把一个整数X展开成如下形式：

　　X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

　　其中，a为整数，并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)

康托展开的应用实例

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

　　代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

　　他们间的对应关系可由康托展开来找到。

　　如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：

　　第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。

　　再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。 

康托展开的代码实现

　　后文的PASCAL程序经检验可以正确工作，并指示出了一个简洁的计算方法，和前文的运算思路略有不同，不需要检验某数码是否使用过，只需检查第(n+1-i)位之后比第(n+1-i)位小的位的数量，将这个数量作为公式中的a[i]。(1<=i<=n)

　　并附此算法C++版本。

　　康托展开的代码（C语言）：

　　unsigned long cantor(unsigned long S)

　　{

　　long x=0,i,p,k,j;

　　bool hash[8]=;

　　for (i=8;i>=2;i--)

　　{

　　k=S>> 3*(i-1);

　　S-=k<<3*(i-1);

　　hash[k]=true;

　　p=k;

　　for (j=0;j<=k-1;j++)

　　if (hash[j])

　　p--;

　　x+=fac[i-1]*p;

　　}

　　return x;

　　} 

　　康托展开的代码（Pascal语言）：

　　s为数组，用来存储要求的数，形如(1,3,2,4)。

　　n为数组中元素个数。

　　fac[x]为x!

　　*function cantor:longint:;

　　*var

　　*　i,j,temp:integer;

　　*　num:longint;

　　*begin

　　*　num:=0;

　　*　for i:=1 to n-1 do

　　*　begin

　　*　  temp:=０;

　　*　  for j:=i+1 to n do 

　　*　    if s[j]<s[ i ] then inc(temp);

　　*　  num:=num+fac[n-i]*temp;

　　*　end;

　　*cantor:=num+1;

　　*end;

　　康托展开的代码（C++语言）：

　　int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//...

　　long cantor(int s[],int n){

　　int i,j,temp,num;

　　num=0;

　　for(i=1;i<n;i++){

　　temp=0;

　　for(int j=i+1;j<=n;j++){

　　if(s[j]<s[i])temp++;

　　}

　　num+=fac[n-i]*temp;

　　}

　　return (num+1);

　　}

康托展开