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康托展开

 康托展开的公式

  把一个整数X展开成如下形式:

  X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

  其中,a为整数,并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)

   

康托展开的应用实例

  {1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 

  代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

  他们间的对应关系可由康托展开来找到。

  如我想知道321{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 :

  第一位是3,当第一位的数小于3时,那排列数小于321 如 123、 213 ,小于3的数有1。所以有2*2!个。再看小于第二位2的:小于2的数只有一个就是,所以有1*1!=1 所以小于321{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。

  再举个例子:1324{1,2,3,4}排列数中第几个大的数:第一位是1小于1的数没有,是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有12,但1已经在第一位了,所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1,但1在第一位,所以有0个数 0*1! ,所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个,1324是第三个大数。 

   

康托展开的代码实现

  后文的PASCAL程序经检验可以正确工作,并指示出了一个简洁的计算方法,和前文的运算思路略有不同,不需要检验某数码是否使用过,只需检查第(n+1-i)位之后比第(n+1-i)位小的位的数量,将这个数量作为公式中的a[i](1<=i<=n)

  并附此算法C++版本。

  康托展开的代码(C语言):

  unsigned long cantor(unsigned long S)

  {

  long x=0,i,p,k,j;

  bool hash[8]=;

  for (i=8;i>=2;i--)

  {

  k=S>> 3*(i-1);

  S-=k<<3*(i-1);

  hash[k]=true;

  p=k;

  for (j=0;j<=k-1;j++)

  if (hash[j])

  p--;

  x+=fac[i-1]*p;

  }

  return x;

  

  康托展开的代码(Pascal语言):

  s为数组,用来存储要求的数,形如(1,3,2,4)

  n为数组中元素个数。

  fac[x]x!

  *function cantor:longint:;

  *var

  * i,j,temp:integer;

  * num:longint;

  *begin

  * num:=0;

  * for i:=1 to n-1 do

  * begin

  *   temp:=;

  *   for j:=i+1 to n do 

  *     if s[j]<s[ i ] then inc(temp);

  *   num:=num+fac[n-i]*temp;

  * end;

  *cantor:=num+1;

  *end;

  康托展开的代码(C++语言):

  int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//...

  long cantor(int s[],int n){

  int i,j,temp,num;

  num=0;

  for(i=1;i<n;i++){

  temp=0;

  for(int j=i+1;j<=n;j++){

  if(s[j]<s[i])temp++;

  }

  num+=fac[n-i]*temp;

  }

  return (num+1);

  }

 

康托展开