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为什么梯度反方向是函数值下降最快的方向?

转载:知乎专栏
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刚接触梯度下降这个概念的时候,是在学习机器学习算法的时候,很多训练算法用的就是梯度下降,然后资料和老师们也说朝着梯度的反方向变动,函数值下降最快,但是究其原因的时候,很多人都表达不清楚。所以我整理出自己的理解,从方向导数这个角度把这个结论证明出来,让我们知其然也知其所以然~

下面我一开始不提梯度的概念,完全根据自己的理解进行下文的梳理,一步一步推出梯度的来历:

  • 导数

导数的几何意义可能很多人都比较熟悉: 当函数定义域和取值都在实数域中的时候,导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率,导数还表示函数在该点的变化率

技术分享将上面的公式转化为下面图像为:

技术分享

(来自维基百科)

直白的来说,导数代表了在自变量变化趋于无穷小的时候,函数值的变化与自变量变化的比值代表了导数,几何意义有该点的切线。物理意义有该时刻的(瞬时)变化率...

注意在一元函数中,只有一个自变量变动,也就是说只存在一个方向的变化率,这也就是为什么一元函数没有偏导数的原因。

  • 偏导数

既然谈到偏导数,那就至少涉及到两个自变量,以两个自变量为例,z=f(x,y) . 从导数到偏导数,也就是从曲线来到了曲面. 曲线上的一点,其切线只有一条。但是曲面的一点,切线有无数条。

而我们所说的偏导数就是指的是多元函数沿坐标轴的变化率.

技术分享指的是函数在y方向不变,函数值沿着x轴方向的变化率

技术分享指的是函数在x方向不变,函数值沿着y轴方向的变化率

对应的图像形象表达如下:

技术分享那么偏导数对应的几何意义是是什么呢?

  • 偏导数技术分享就是曲面被平面技术分享所截得的曲面在点技术分享处的切线技术分享对x轴的斜率
  • 偏导数技术分享就是曲面被平面技术分享所截得的曲面在点技术分享处的切线技术分享对y轴的斜率

可能到这里,读者就已经发现偏导数的局限性了,原来我们学到的偏导数指的是多元函数沿坐标轴的变化率,但是我们往往很多时候要考虑多元函数沿任意方向的变化率,那么就引出了方向导数.

 

  • 方向导数

终于引出我们的重头戏了,方向导数,下面我们慢慢来走进它

假设你站在山坡上,相知道山坡的坡度(倾斜度)

山坡图如下:

技术分享假设山坡表示为技术分享,你应该已经会做主要俩个方向的斜率.

y方向的斜率可以对y偏微分得到.

同样的,x方向的斜率也可以对x偏微分得到

那么我们可以使用这俩个偏微分来求出任何方向的斜率(类似于一个平面的所有向量可以用俩个基向量来表示一样)

现在我们有这个需求,想求出技术分享方向的斜率怎么办.假设技术分享为一个曲面,技术分享技术分享定义域中一个点,单位向量技术分享的斜率,其中技术分享是此向量与技术分享轴正向夹角.单位向量技术分享可以表示对任何方向导数的方向.如下图:

技术分享那么我们来考虑如何求出技术分享方向的斜率,可以类比于前面导数定义,得出如下:

技术分享为一个二元函数,技术分享为一个单位向量,如果下列的极限值存在

技术分享此方向导数记为技术分享

则称这个极限值是技术分享沿着技术分享方向的方向导数,那么随着技术分享的不同,我们可以求出任意方向的方向导数.这也表明了方向导数的用处,是为了给我们考虑函数对任意方向的变化率.

在求方向导数的时候,除了用上面的定义法求之外,我们还可以用偏微分来简化我们的计算.

表达式是技术分享(至于为什么成立,很多资料有,不是这里讨论的重点)

那么一个平面上无数个方向,函数沿哪个方向变化率最大呢?

目前我不管梯度的事,我先把表达式写出来:

技术分享

技术分享,技术分享

那么我们可以得到:

技术分享(技术分享为向量技术分享与向量技术分享之间的夹角)

那么此时如果技术分享要取得最大值,也就是当技术分享为0度的时候,也就是向量技术分享(这个方向是一直在变,在寻找一个函数变化最快的方向)与向量技术分享(这个方向当点固定下来的时候,它就是固定的)平行的时候,方向导数最大.方向导数最大,也就是单位步伐,函数值朝这个反向变化最快.

好了,现在我们已经找到函数值下降最快的方向了,这个方向就是和技术分享向量相同的方向.那么此时我把A向量命名为梯度(当一个点确定后,梯度方向是确定的),也就是说明了为什么梯度方向是函数变化率最大的方向了!!!(因为本来就是把这个函数变化最大的方向命名为梯度)

我的理解是,本来梯度就不是横空出世的,当我们有了这个需求(要求一个方向,此方向函数值变化最大),得到了一个方向,然后这个方向有了意义,我们给了它一个名称,叫做梯度(纯个人理解~希望对大家理解有帮助)欢迎知友提出问题交流~

为什么梯度反方向是函数值下降最快的方向?