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数学归纳法

2024-10-16 06:58:02   217人阅读

数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，
第一步：验证n取第一个自然数时成立
第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
最后一步总结表述。
需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可。
 
例子：举例证明下面的定理
技术分享 ——等差数列求和公式
第一步，验证该公式在 n = 1 时成立。即有左边=1，右边= 技术分享 =1，所以这个公式在n = 1时成立。
第二步，需要证明假设n = m 时公式成立，那么可以推导出n = m+1 时公式也成立。
步骤如下：
假设n = m 时公式成立，即
 技术分享 （等式1）
然后在等式两边同时分别加上m + 1 得到 技术分享 （等式2）
这就是n = m+1 时的等式。我们下一步需要根据 等式1证明 等式2 成立。通过因式分解合并，等式2的右边 技术分享
也就是
技术分享
这样我们就完成了由n=m成立推导出n=m+1成立的过程，证毕。
 
结论：对于任意自然数n，公式均成立。
 
对于以上例子的分析
在这个证明中，归纳的过程如下：
  1. 首先证明n=1成立。
  2. 然后证明从n=m 成立可以推导出n=m+1 也成立（这里实际应用的是演绎推理）。
  3. 根据上两条从n=1 成立可以推导出n=1+1，也就是n=2 成立。
  4. 继续推导，可以知道n=3 成立。
  5. 从 n=3 成立可以推导出n=4 也成立……
  6. 不断重复3的推导过程（这就是所谓“归纳”推理的地方）。
  7. 我们便可以下结论：对于任意非零自然数n，公式成立。

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