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归纳法求解最大连续子序列
(原文链接:http://www.karottc.com/blog/2014/09/07/maximum-consecutive-subsequence/)
问题
求最大连续子序列的问题描述如下:
给定一个实数序列 x1, x2, ... , xn(不必是正数),寻找一个(连续的)子序列 xi, xi+1, ... , xj,使得其数值之和在所有连续子序列数值之和中是最大的。
这个问题就是最大子序列问题,所求的的这个序列就叫做——最大子序列。下面通过数学归纳法来分析和解决这个问题,解决这个问题的最好目标是: 一个算法,能够只扫描此序列一次就得到最大子序列。
归纳分析
根据上面的问题可以直接得到一般的归纳假设:
归纳假设: 已知如何找到规模小于 n 的序列的最大子序列。
下面假定一些变量:
- 给定序列 S(n)=(x1, x2, ... , xn).
- 序列 S(n) 的子序列为 S‘(n) .
- 序列 S(n) 的最大子序列为 S‘M(n)=(xi, xi+1, ... , xj).
- 序列 S(n) 的最大后缀子序列为 S‘E(n)=(xk, xk+1, ... , xn).
现在开始用数学归纳法来证明:
- 当 n = 1 时, S(1)=x1,如果 x1<0,则 *S‘M(1)=NULL;否则 *S‘M(1)=x1 .
- 当 n = n-1 时,S(n-1)=(x1, x2, ... , xn-1),假设 S‘M(n-1)=(xi, xi+1, ... , xj).
当 n = n 时,S(n)=(x1, x2, ... , xn)=( S(n-1), xn),然后由 S‘M(n-1) 推导出 S‘M(n),共有下面3种情况:
- S‘M(n-1)=(xi, xi+1, ... , xj) = NULL,如果 xn<0,则 *S‘M(n)=NULL;否则 *S‘M(n)=xn .
- S‘M(n-1)=(xi, xi+1, ... , xj) && j = n-1,此时 S‘M(n-1) = S‘E(n-1),如果 xn > 0,S‘M(n)= S‘M(n-1) + xn = (xi, xi+1, ... , xj) + xn,否则 S‘M(n)= S‘M(n-1)=(xi, xi+1, ... , xj) .
- S‘M(n-1)=(xi, xi+1, ... , xj) && j < n-1,此时 S‘M(n-1) > S‘E(n-1),则可得到 S‘M(n)=S‘M(n-1) 或者 S‘M(n)=S‘E(n-1) + xn .
即上述可得证:能够求出 S(n)=(x1, x2, ... , xn) 的最大连续子序列,不过上述的证明过程中用了增强归纳假设,这个也是这个证明的关键:
更强的归纳假设: 已知如何找到规模小于 n 的序列的最大子序列,以及作为后缀的最大子序列。
我们知道了 S‘M(n) 和 S‘E(n) 这两个序列,算法也就明确了。我们把 xn 加入到最大后缀子序列中,如果它的和大于原来的最大子序列,则得到一个新的最大子序列(同样也是一个后缀),否则,保留以前的最大子序列。但求解过程还没有结束,我们还需要寻找新的最大后缀子序列,因为不能只是简单的把 xn 加到以前的最大后缀中,有可能以 xn 结束的最大后缀的和是负数,在这种情况下,我们就需要把NULL(空集)作为最大后缀(以及把随后的 xn+1 也考虑进去)。
具体算法实现
根据上面的分析过程,下面贴上具体的C++代码:
int Maximum_Consecutive_Subsequence(int *x, int n)
{
int global_Max = 0; // 最大子序列的和
int suffix_Max = 0; // 最大后缀子序列的和,每次迭代都会更新
int i = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
{
if (x[i] + suffix_Max > global_Max)
{
suffix_Max = suffix_Max + x[i];
global_Max = suffix_Max;
}
else if (x[i] + suffix_Max > 0)
{
suffix_Max = suffix_Max + x[i];
}
else
{
suffix_Max = 0;
}
}
return global_Max;
}
更详细的代码可以戳这里.
2014.09.07
归纳法求解最大连续子序列