问题描述：

有一个1~n的数列的排列，但是这个数列已经被打乱了排列顺序，如果我们只是通过“交换任意两个元素”，那么，要实现元素从1~n的有序排列，“最少的交换次数是多少？”

解答过程：

首先我们纸上可以先写写简单的情况试试，比如排列：4 3 1 2， 交换次数=3；我们可以在多组测试中，边测试边想，真正的实现需要满足：4本该到2处， 2本该到3处， 3本该到1处， 1本该到4处，刚好一个循环。

于是，考虑：

引理：是否对于满足这种一个循环的排列，最少交换次数等于元素个数减去1呢？

可以考虑数学归纳法。

首先k=1,2,3时我们可以知道是成立的；

假设当 n <=k 时， 这种单循环排列的最少交换次数为n-1;

考虑n=k+1的情况： 这时，我们任意交换k+1个中的两个元素，会发现单循环分裂成了两个单循环（比如上述，4和1交换后，序列变成 1 3 4 2 此时 剩下了<1> 和 <3 4 2>两个子序列， <1>交换次数=0 <3 4 2>交换次数=2，那么总的交换是3次；如果我们交换1和2（本次交换没有任何一个元素归位），剩下的是序列4 3 2 1 ,是两个单循环序列<4 1>和<3 2>，总的交换还是1+（1+1) = 3  = 4 -1),那么接下来有两种做法：

方法1：对两个单循环序列分别执行递归调用，则最小交换次数为1 + （序列1的个数-1） + （序列2的个数-1） = 元素总数-1 

方法2：我们把分开的两个单循环序列进行合并交换，即序列1中的元素和序列2中元素交换，交换后新的合成序列出来了，这种交换将原始序列分开了又合并，白白交换了2次，剩下的序列还是k+1个单循环，这种交换显然不是最优的交换方式

由此看来，方法1的交换是通往最少交换的交换方式。

说明当n=k + 1时，我们按照方式1就可以更优的交换， 此时可以保证交换次数=k=n-1次

至此我们证明了：单循环序列，最少交换次数为n-1次。

考虑多个单循环序列的情况

由于不同的两个单循环序列合并交换称一个单循环序列时，有上述方法2可知其实是无效交换

所以，多个单循环序列的交换情况，就是每个单循环序列各自交换的次数的相加之和

比如 4 3 2 1 7 6 5

就是两个单循环序列<4 3 2 1> <7 6 5>的各自交换次数之和 = 3 + 2  = 5 = 7 - 单循环序列的个数

由此可知， 对于一个n长的互异序列， 通过交换实现有序的话，最优的交换次数是=n - n被分解成单循环的个数

明白了这个过程，代码自然都是浮云。。。

关于一个求最小交换次数的算法的一个严格证明，是严格证明，不是想当然