现在，我们通过几种不同的方法来阐述下欧拉公式的证明思想，即证明，e^πi + 1=0.

首先指数函数是定义在实数域上的，现在要延拓到复数域上，首先要定义e^i, e^ix是什么，严格地说，这是一种定义，而且，这个定义是合理的.

e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位，他将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.

证法1：

泰勒中值定理：

若函数f(x)在开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和：
 
f(x)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0)+f‘‘(x0)/2!.(x-x0)^2,+f‘‘‘(x0)/3!.(x-x0)^3+...+f(n)(x0)/n!.(x-x0)^n+Rn

其中，Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!.(x-x0)^(n+1),这里ξ在x和x0之间，该余项称为拉格朗日型的余项.

注：f(n)(x0)是f(x0)的n阶导数，不是f(n)与x0的相乘.

用此定理可以将任何有n阶导数的函数展开成多项式的形式

所以，e^x,cosx,sinx：

e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...

cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!...

sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-...

在e^x的展开式中把x换成±ix，则：

e^±ix

=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3!?x^4/4!...

=(1-x^2/2!+...)±i(x-x^3/3!...)

所以，e^±ix=cosx±isinx

将x换成-x，可得：

e^-ix=cosx-isinx

然后采用两式相加减的方法得到：

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)

cosx=(e^ix+e^-ix)/2

这两个也叫做欧拉公式

将e^ix=cosx+isinx中的x取作π

就得到：e^iπ+1=0

注：(±i)^2=-1,(±i)^3=?i,(±i)^4=1...

证法2：

证明之前需要定义exp,sin,cos函数和π

1.定义exp

先来定义exp函数，我们定义复指数函数，对于z，定义exp(z)为：

采用复级数的比例判别法可知，对于每个z，exp(z)都收敛，还有，exp（z）在C是复解析的.

exp(z)的性质有：

exp(z+w)=exp(z)exp(w)

~exp(z)=exp(~z)

定义欧拉数e为：

根据exp函数的性质第一点可以证明，对于每个实数x，有exp(x)=e^x

根据这个命题，我们将交互的使用记号，exp(x)和e^x

但是，如果，z是复数，那么，e^z则没有指数的含义，只有exp(z)的另一种写法.

2.定义三角函数

再来定义三角函数，如果，z是复数，那么，定义：

分别把cos和sin叫做余弦函数、正弦函数.

由定义可知，对于复数z，有：

从exp的幂级数定义，可得：

一般我们只用到实三角函数，同样三角函数在C上是复解析的，三角函数的性质有，设：x，y是实数，那么，有如下各式：

且对于一切x∈R，有：

设，E是集合，E:={x∈(0,∞):sin(x)=0}，根据三角函数的性质，可知，存在c>0，使得E包含于[c,∞)，且，还有E是R中的闭集，于是，E含有他的一切附着点，从而，含有inf(E).

3.定义π

定义π，为：

π:=inf{x∈(0,∞):sin(x)=0}

于是，π∈E包含于[c,∞)，那么，π>0，而且，sin(π)=0,同样，根据三角函数的性质，可以断定：cos(π)<1，由于sin^2(π)+cos^2(π)=1，所以，cos(π)=-1.

于是，得到了欧拉定理公式

即，

此公式，将数学里最重要的几个数字联系到了一起.

两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0，数学家们评价它是上帝创造的公式，我们只能看他而不能理解它.

注意：

R + V - E=2，这是欧拉定理，欧拉定理实际上是费马小定理的推广.

，这是欧拉公式（之一）.

关于欧拉公式证明的一个延拓