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经典算法题每日演练——第五题 字符串相似度
这篇我们看看最长公共子序列的另一个版本，求字符串相似度(编辑距离)，我也说过了，这是一个非常实用的算法，在DNA对比，网
页聚类等方面都有用武之地。
一：概念
对于两个字符串A和B，通过基本的增删改将字符串A改成B，或者将B改成A，在改变的过程中我们使用的最少步骤称之为“编辑距离”。
比如如下的字符串：我们通过种种操作，痉挛之后编辑距离为3，不知道你看出来了没有？
二：解析
可能大家觉得有点复杂，不好理解，我们试着把这个大问题拆分掉，将"字符串 vs 字符串“，分解成”字符 vs 字符串“，再分解
成”字符 vs 字符“。
<1> ”字符“vs”字符“
这种情况是最简单的了，比如”A“与”B“的编辑距离很显然是1。
<2> ”字符”vs"字符串"
”A“改成”AB“的编辑距离为1，“A”与“ABA”的编辑距离为2。
<3>“字符串”vs“字符串”
“ABA”和“BBA”的编辑距离为1，仔细发现我们可以得出如下结论，”ABA“是由23个子序列与”BBA“字符串求的的编辑距离集
合中取出的最小编辑距离，也就是说在这种情况下我们出现了重复计算的问题，我在求子序列”AB“和”BBA"的编辑距离时，我是由
子序列”A“和”BBA“与”B“和”BBA“之间的编辑距离中选出一个最小值，然而序列A和序列B早之前我已经计算过了，这种重复计算
的问题有点像”斐波那契”，正好满足“动态规划”中的最优子结构和重叠子问题，所以我们决定采用动态规划来解决。
三：公式
跟“最长公共子序列”一样，我们采用一个二维数组来保存字符串X和Y当前的位置的最小编辑距离。
现有两个序列X={x1,x2,x3，...xi}，Y={y1,y2,y3，....，yi}，
设一个C[i,j]: 保存Xi与Yj的当前最小的LD。
①： 当 Xi = Yi 时，则C[i,j]=C[i-1,j-1]；
②：当 Xi != Yi 时， 则C[i,j]=Min{C[i-1,j-1],C[i-1,j],C[i,j-1]}；
最终我们的C[i,j]一直保存着最小的LD。
四：代码
1 using System; 2 3 namespace ConsoleApplication2 4 { 5 public class Program 6 { 7 static int[,] martix; 8 9 static string str1 = string.Empty;10 11 static string str2 = string.Empty;12 13 static void Main(string[] args)14 {15 while (true)16 {17 str1 = Console.ReadLine();18 19 str2 = Console.ReadLine();20 21 martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];22 23 Console.WriteLine("字符串 {0} 和 {1} 的编辑距离为:{2}\n", str1, str2, LD());24 }25 }26 27 /// <summary>28 /// 计算字符串的编辑距离29 /// </summary>30 /// <returns></returns>31 public static int LD()32 {33 //初始化边界值(忽略计算时的边界情况)34 for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)35 {36 martix[i, 0] = i;37 }38 39 for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)40 {41 martix[0, j] = j;42 }43 44 //矩阵的 X 坐标45 for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)46 {47 //矩阵的 Y 坐标48 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)49 {50 //相等情况51 if (str1[i - 1] == str2[j - 1])52 {53 martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1];54 }55 else56 {57 //取“左前方”，“上方”，“左方“的最小值58 var temp1 = Math.Min(martix[i - 1, j], martix[i, j - 1]);59 60 //获取最小值61 var min = Math.Min(temp1, martix[i - 1, j - 1]);62 63 martix[i, j] = min + 1;64 }65 }66 }67 68 //返回字符串的编辑距离69 return martix[str1.Length, str2.Length];70 }71 }72 }
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