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[CodeForces - 447E] E - DZY Loves Fibonacci Numbers

2024-11-01 19:29:02   204人阅读

E  DZY Loves Fibonacci Numbers

In mathematical terms, the sequence Fn of Fibonacci numbers is defined by the recurrence relation

F1?=?1; F2?=?1; Fn?=?Fn?-?1?+?Fn?-?2 (n?>?2).

DZY loves Fibonacci numbers very much. Today DZY gives you an array consisting of nintegers: a1,?a2,?...,?an. Moreover, there are m queries, each query has one of the two types:

  1. Format of the query "1 l r". In reply to the query, you need to add Fi?-?l?+?1 to each element ai, where l?≤?i?≤?r.
  2. Format of the query "2 l r". In reply to the query you should output the value of 技术分享 modulo 1000000009 (109?+?9).

Help DZY reply to all the queries.

Input

The first line of the input contains two integers n and m (1?≤?n,?m?≤?300000). The second line contains n integers a1,?a2,?...,?an (1?≤?ai?≤?109) — initial array a.

Then, m lines follow. A single line describes a single query in the format given in the statement. It is guaranteed that for each query inequality 1?≤?l?≤?r?≤?n holds.

Output

For each query of the second type, print the value of the sum on a single line.

Example

Input
4 4
1 2 3 4
1 1 4
2 1 4
1 2 4
2 1 3
Output
17
12

Note

After the first query, a?=?[2,?3,?5,?7].

For the second query, sum?=?2?+?3?+?5?+?7?=?17.

After the third query, a?=?[2,?4,?6,?9].

For the fourth query, sum?=?2?+?4?+?6?=?12.

题目的大意就是,定义了fib数列前两项F[1]=1,F[2]=1。给出整数n，m，再给出n个数和m项操作。

每个操作包含三个数op，l，r，若op=1，就在[l,r]的区间相应加上F[1,r-l+1](每个数对应着加),若op=2，就将[l,r]中所有数统计和并输出。

首先,我们要知道,fib数列有个特殊的性质_两个fib数列相加,还是fib数列,只是前两项的值变动了而已(从而导致后面的数变动).

那么,根据这个性质,就可以通过累计的方法实现_用线段树进行维护.

首先,我们需要知道一些性质:

设fib[1]=a,fib[2]=b,则fib[n]=fib[n-1]*b+fib[n-2]*a.(可推)

fib[1]+fib[2]+fib[3]+......+fib[n]=fib[n+2]-fib[2].(可推)

通过这两个性质,我们可以巧妙的记录线段树上每一个节点的前两个(fib[1],fib[2])的值,然后计算出这个节点上[L,R],所有数的和.

怎么来?

我们对于每一个线段树上的节点,都记录两个值,ta,tb,分别表示这个区间前两项的值,在更新时,

技术分享 
1 void upt(int now,int fir,int sec,int len){
2     T[now].ta=(T[now].ta+fir)%TT,T[now].tb=(T[now].tb+sec)%TT;
3     T[now].key=((long long)T[now].key+(long long)fir*fib[len]+(long long)sec*fib[len+1]-(long long)sec)%TT;
4 }
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其中前两句是将标记累计,最后以句就是顺带计算出这个节点的值.

同时,在pushdown函数中,也要对此进行更新.

技术分享 
 1 void push_down(int now){
 2     if (!T[now].ta&&!T[now].tb) return;
 3     int L=T[now].L,R=T[now].R;
 4     upt(now<<1,T[now].ta,T[now].tb,mid-L+1);
 5     int len=mid-L+1,a,b;
 6     a=((long long)T[now].ta*fib[len-1]+(long long)T[now].tb*fib[len])%TT;
 7     b=((long long)T[now].ta*fib[len]+(long long)T[now].tb*fib[len+1])%TT;
 8     upt(now<<1|1,a,b,R-mid);
 9     T[now].ta=T[now].tb=0;
10 }
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其中,对于某个节点的子节点,有两段.一段[L,mid],一段[mid+1,R].

那么更新[L,mid]时,它的前缀和当前节点是一样的,所以不需改动信息,直接下传.

更新[mid+1,R]时,需要重新计算出这段区间前两项的值(这可以用上面说的性质算),然后才能下传.

最后下传完了记得把标记清空.

不过不知道为什么,我的线段树开4,5倍空间会炸,开10倍才不炸,很玄学......

技术分享 
 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define mid ((L+R)>>1)
 5 using namespace std;
 6 const int TT=1000000009,maxn=300007;
 7 int n,m,a[maxn],fib[maxn];
 8 struct ST{int L,R,key,ta,tb;}T[maxn*10];
 9 int read(){
10     int x=0; char ch=getchar();
11     while (ch<‘0‘||ch>‘9‘) ch=getchar();
12     while (ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
13     return x;
14 }
15 void make(int now,int L,int R){
16     T[now].L=L,T[now].R=R;
17     if (L==R){T[now].key=a[L]; return;}
18     make(now<<1,L,mid),make(now<<1|1,mid+1,R);
19     T[now].key=(T[now<<1].key+T[now<<1|1].key)%TT;
20 }
21 void upt(int now,int fir,int sec,int len){
22     T[now].ta=(T[now].ta+fir)%TT,T[now].tb=(T[now].tb+sec)%TT;
23     T[now].key=((long long)T[now].key+(long long)fir*fib[len]+(long long)sec*fib[len+1]-(long long)sec)%TT;
24 }
25 void push_down(int now){
26     if (!T[now].ta&&!T[now].tb) return;
27     int L=T[now].L,R=T[now].R;
28     upt(now<<1,T[now].ta,T[now].tb,mid-L+1);
29     int len=mid-L+1,a,b;
30     a=((long long)T[now].ta*fib[len-1]+(long long)T[now].tb*fib[len])%TT;
31     b=((long long)T[now].ta*fib[len]+(long long)T[now].tb*fib[len+1])%TT;
32     upt(now<<1|1,a,b,R-mid);
33     T[now].ta=T[now].tb=0;
34 }
35 void alter(int now,int aimL,int aimR){
36     int L=T[now].L,R=T[now].R;
37     if (L>aimR||R<aimL) return;
38     if (L>=aimL&&R<=aimR){upt(now,fib[L-aimL+1],fib[L-aimL+2],R-L+1); push_down(now); return;}
39     push_down(now);
40     alter(now<<1,aimL,aimR),alter(now<<1|1,aimL,aimR);
41     T[now].key=(T[now<<1].key+T[now<<1|1].key)%TT;
42 }
43 int seek(int now,int aimL,int aimR){
44     int L=T[now].L,R=T[now].R;
45     if (L>aimR||R<aimL) return 0;
46     if (L>=aimL&&R<=aimR) return T[now].key;
47     push_down(now);
48     return (seek(now<<1,aimL,aimR)+seek(now<<1|1,aimL,aimR))%TT;
49 }
50 int main(){
51     n=read(),m=read(),memset(T,0,sizeof T);
52     for (int i=1; i<=n; i++) a[i]=read();
53     make(1,1,n);
54     fib[0]=0,fib[1]=fib[2]=1;
55     for (int i=3; i<=n+3; i++) fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%TT;
56     for (int i=1; i<=m; i++){
57         int tp=read(),L=read(),R=read();
58         if (tp==1) alter(1,L,R);
59         else printf("%d\n",seek(1,L,R));
60     }
61     return 0;
62 }
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