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NOIp2009 Hankson 的趣味题

2024-10-29 14:17:02   207人阅读

题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整数 x 满足：

1． x 和 a0 的最大公约数是 a1；

2． x 和 b0 的最小公倍数是 b1。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入输出格式

输入格式：

 

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

 

输出格式：

 

输出文件 son.out 共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；

若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

 

输入输出样例

输入样例#1：
2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776
输出样例#1：
6 
2

说明

【说明】

第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。

第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且 n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且 n≤2000。

NOIP 2009 提高组 第二题

题解：

关于a,b两个数的最小公倍数的计算公式:

gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b;

lcm(a,b)=a/gcd(a,b)*b;(注意这儿最好先除后乘，防止过程溢出)。

剩下的就是暴力枚举了。

首先我们要确定x的范围，x肯定比lcm(x,b0)小,也就是比b1小，一定比(b1/b0)大。

有了这个范围我们就可以暴力枚举了(但却会超时3个点)：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,a0,a1,b0,b1;
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}    
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
    int ans=0;
    scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
    int mn=b1/b0;
    int mx=floor(sqrt((double)b1));
    for(int i=mn;i<=b1;i+=mn)
    {
        int x=gcd(i,a0);
        if(x!=a1) continue;
        int y=gcd(i,b0);
        if((i/y*b0)!=b1) continue;
        ans++;
    }
    printf("%d\n",ans);
   } 
}

用加法来枚举肯定是会超时的。

我们可以只枚举b1的因数,如果x是b1的因数的话,那么另一个因数就是b1/x;

这样的话就可以从1枚举到b1的平方根,这样枚举量就大大减少了。

注意有种特殊情况：

假如最小公倍数是100；

当枚举到10时，那么另一个因数是100/10=10；

这样的话10被算了两次，所以要特判两个因数是否相同。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,a0,a1,b0,b1;
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}    
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
    int ans=0;
    scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
    int mx=floor(sqrt((double)b1));
    for(int i=1;i<=mx;i++)
    {
        if(!(b1%i))
        {
            int x,y,k;
            k=b1/i;
            x=gcd(i,a0); y=gcd(i,b0);
            if(x==a1&&(i/y*b0)==b1) ans++;
            x=gcd(k,a0); y=gcd(k,b0);
            if(x==a1&&(k/y*b0==b1)&&(b1/i)!=i) ans++;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

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