前言

从网上看到不少程序猿对浮点数精度问题有非常多疑问，在论坛上发贴询问。非常多热心人给予了解答，但我发现一些解答中有些许小的错误和认识不当之处。我以前做过数值算法程序，尽管基本可用，可是被浮点数精度问题所困扰；事情过后，我花了一点时间搜集资料，并细致研究。有些心得体会，愿意与大家分享，希望对IEEE 754标准中的二进制浮点数精度及其相关问题给予较为详尽的解释。

当然，文中不论什么错误由本人造成，由我承担。特此声明。

1、 什么是IEEE 754标准？

眼下支持二进制浮点数的硬件和软件文档中，差点儿都声称其浮点数实现符合IEEE 754标准。那么。什么是IEEE 754标准？

最权威的解释是IEEE754标准本身ANSI/IEEE Std 754-1985《IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic》，网上有PDF格式的文件。Google一下，下载就可以。

标准文本是英文的，总共才23页，有耐心的话能够细致阅读。这里摘录前言中的一句：

This standard defines a family of commercially feasible ways for new systems to perform binary floating-point arithmetic。

事实上是句废话，什么也没说。

IEEE 754标准的主要起草者是加州大学伯克利分校数学系教授William Kahan。他帮助Intel公司设计了8087浮点处理器（FPU）。并以此为基础形成了IEEE 754标准。Kahan教授也因此获得了1987年的图灵奖。赞一句：IEEE 754浮点格式确实是天才的设计。Kahan教授的主页：http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/。

看看其他文献怎么说。

2、 IEEE 754标准规定了什么？

下面内容来自Sun公司的《Numerical Computation Guide－Sun Studio 11》的中文版《数值计算指南》，并加上本人的一点说明。说实话，该中文指南翻译得不太好，比如，round译成“四舍五入”。

IEEE 754 规定：

a) 两种基本浮点格式：单精度和双精度。

IEEE单精度格式具有24位有效数字，并总共占用32 位。IEEE双精度格式具有53位有效数字精度，并总共占用64位。

说明：基本浮点格式是固定格式，相相应的十进制有效数字分别为7位和17位。基本浮点格式相应的C/C++类型为float和double。

b) 两种扩展浮点格式：单精度扩展和双精度扩展。

此标准并未规定扩展格式的精度和大小，但它指定了最小精度和大小。

比如。IEEE 双精度扩展格式必须至少具有64位有效数字，并总共占用至少79 位。

说明：尽管IEEE 754标准没有规定详细格式，可是实现者能够选择符合该规定的格式，一旦实现，则为固定格式。比如：x86 FPU是80位扩展精度，而Intel安腾FPU是82位扩展精度，都符合IEEE 754标准的规定。C/C++对于扩展双精度的对应类型是long double，可是。Microsoft Visual C++ 6.0版本号以上的编译器都不支持该类型，long double和double一样。都是64位基本双精度，仅仅能用其他C/C++编译器或汇编语言。

c) 浮点运算的精确度要求：加、减、乘、除、平方根、余数、将浮点格式的数舍入为整数值、在不同浮点格式之间转换、在浮点和整数格式之间转换以及比較。

求余和比較运算必须精确无误。其它的每种运算必须向其目标提供精确的结果。除非没有此类结果，或者该结果不满足目标格式。

对于后一种情况，运算必须依照以下介绍的规定舍入模式的规则对精确结果进行最低限度的改动，并将经过此类改动的结果提供给运算的目标。

说明：IEEE 754没有规定基本算术运算（＋、－、×、/ 等）的结果必须精确无误，由于对于IEEE 754的二进制浮点数格式。由于浮点格式长度固定。基本运算的结果差点儿不可能精确无误。这里用三位精度的十进制加法来说明：

例1：a = 3.51，b = 0.234。求a+b = ?

a与b都是三位有效数字，可是，a＋b的精确结果为3.744，是四位有效数字，对于该浮点格式仅仅有三位精度。a＋b的结果无法精确表示，仅仅能近似表示，详细运算结果取决于舍入模式（见舍入模式的说明）。同理，因为浮点格式固定。对于其它基本运算，结果也差点儿无法精确表示。

d) 在十进制字符串和两种基本浮点格式之中的一个的二进制浮点数之间进行转换的精确度、单一性和一致性要求。

对于在指定范围内的操作数，这些转换必须生成精确的结果（假设可能的话），或者依照规定舍入模式的规则。对此类精确结果进行最低限度的改动。对于不在指定范围内的操作数，这些转换生成的结果与精确结果之间的差值不得超过取决于舍入模式的指定误差。

说明：这一条规定是针对十进制字符串表示的数据与二进制浮点数之间相互转换的规定。也是一般编程者最easy产生错觉的事情。

由于人最熟悉的是十进制，以为对于随意十进制数，二进制都应该能精确表示。事实上不然。本文主要目的就是揭密二进制浮点数所可以精确表示的十进制数，假设你曾经没有想过这个问题。绝对让你惊讶。卖个关子先。

e) 五种类型的IEEE 浮点异常，以及用于向用户指示发生这些类型异常的条件。

五种类型的浮点异常是：无效运算、被零除、上溢、下溢和不精确。

说明：关于浮点异常，见Kahan教授的《Lecture Notes on IEEE 754》，这里我就不浪费口水了。

f) 四种舍入方向：

向最接近的可表示的值。当有两个最接近的可表示的值时首选“偶数”值；向负无穷大（向下）；向正无穷大（向上）以及向0（截断）。

说明：舍入模式也是比較easy引起误解的地方之中的一个。

我们最熟悉的是四舍五入模式，可是，IEEE 754标准根本不支持。它的默认模式是近期舍入（Round to Nearest），它与四舍五入仅仅有一点不同，对.5的舍入上，採用取偶数的方式。

举例比較例如以下：

例2：

近期舍入模式：Round(0.5) = 0; Round(1.5) = 2; Round(2.5) = 2;

四舍五入模式：Round(0.5) = 1; Round(1.5) = 2; Round(2.5) = 3;

主要理由：因为字长有限。浮点数可以精确表示的数是有限的，因而也是离散的。在两个可以精确表示的相邻浮点数之间，必然存在无穷多实数是IEEE浮点数所无法精确表示的。怎样用浮点数表示这些数，IEEE 754的方法是用距离该实数近期的浮点数来近似表示。可是，对于.5，它到0和1的距离是一样近。偏向谁都不合适，四舍五入模式取1，尽管银行在计算利息时，愿意多给0.5分钱。可是，它并不合理。比如：假设在求和计算中使用四舍五入，一直算下去，误差有可能越来越大。

机会均等才公平，也就是向上和向下各占一半才合理，在大量计算中，从统计角度来看，高一位各自是偶数和奇数的概率正好是50% : 50%。至于为什么取偶数而不是奇数，大师Knuth有一个样例说明偶数更好，于是一锤定音。近期舍入模式在C/C++中没有对应的函数，当然。IEEE754以及x86 FPU的默认舍入模式是近期舍入，也就是每次浮点计算结果都採用近期舍入模式，除非用程序显式设置为其他三种舍入模式。

另外三种舍入模式，简要说明。

向0（截断）舍入：C/C++的类型转换。(int) 1.324 = 1。(int) -1.324 = -1;

向负无穷大（向下）舍入：C/C++函数floor()。比如：floor(1.324) = 1，floor(-1.324) = -2。

向正无穷大（向上）舍入：C/C++函数ceil()。ceil(1.324) = 2。Ceil(-1.324) = -1;

后两种舍入方法据说是为了数值计算中的区间算法，但非常少听说哪个商业软件使用区间算法。

3、 十进制小数与二进制小数的相互转换

先看看十进制数与二进制数怎样互相转换。

用下标表示数的基（base），即d₁₀表示十进制数，b₂二进制数。

则一个具有n+1位整数m位小数的十进制数d₁₀表示为：

例3：

同理。一个具有n+ 1位整数m位小数的二进制数b₂表示为：

例4：

二进制数转换成十进制数。比較easy，如例4。

十进制数转换成二进制数，是把整数部分和小数部分分别转换，整数部分用2除，取余数，小数部分用2乘。取整数位。

例5：把(13.125)₁₀转换成二进制数

整数部分：。小数部分：

因此，

说明：C/C++语言的scanf()函数一般不採用这样的方法。

一个十进制数是否能用二进制浮点数精确表示，关键在于小数部分。

我们来看一个最简单的小数是否能精确表示。依照乘以2取整数位的方法，有：

得到一个无限循环的二进制小数，用有限位无法表示无限循环小数，因此，无法用IEEE 754浮点数精确表示。从中也能够看到：因为

，

这四个数也无法精确表示。

同理：

也无法用IEEE 754浮点数精确表示。

结论1：的9个小数中，仅仅有0.5能够精确表示：。

能够把这个结论推广到普通情况：

结论2：不论什么以下的十进制数都无法用IEEE 754浮点数精确表示。必然存在误差。

假设的整数部分能精确表示且该数在浮点数的精度范围之内。则该数能够精确表示。

4、 二进制小数能精确表示的十进制小数的基本规律

上述结论是由十进制数向二进制数转换而得到的。以下从二进制数向十进制数转换的角度来推演：

能够一直算下去，得到一个基本规律

结论3：一个十进制小数要能用浮点数精确表示，最后一位必须是5，由于1 除以2永远是0.5，当然这是必要条件，并不是充分条件。

一个m位二进制小数可以精确表示的十进制小数有多少个呢？当然是个。推演例如以下：

一位二进制小数可以精确表示的小数仅仅有个：。

两位二进制小数可以精确表示的小数有个：。

三位二进制小数可以精确表示的小数有个：

…

m位二进制小数可以精确表示的十进制小数就是个。

而m位十进制小数有个，因此。能精确表示的十进制小数的比例是，m越大。比例越小。以经常使用的单精度和双精度浮点数为例，m各自是24和53。则比例为：和。小到可以忽略不计。

5、 FAQ：C/C++库函数函数printf() 是怎样忽悠我们的？

Q：既然绝大部分浮点小数都不能精确表示十进制小数。为什么printf()常常能打印出准确的值？

A：由于IEEE 754对二进制到十进制的转换有明白规定，见前面2.d）。

并且函数printf()默认情况下仅仅打印7位有效数字，在误差不大的情况下是没有问题的，可是，我们常常见到这种结果“.xxxx999999”。

用printf(“%.17lf”, …)；能够让浮点数显出原形。

6、 与IEEE 754相关的标准

本文的结论基于IEEE 754标准。另外一个标准是IEEE 854，这个标准是关于十进制浮点数的。但没有规定详细格式。所以非常少被採用。另外，从2000年開始，IEEE 754開始修订，被称为IEEE 754R（http://754r.ucbtest.org/）。目的是融合IEEE 754和IEEE 854标准。已经在工作组内进行表决。还没有被IEEE表决通过，预计也快了。

该标准在浮点格式方面的修订例如以下：

a) 增加了16位和128位的二进制浮点数格式。

b) 增加了十进制浮点数格式，採用了IBM公司（http://www2.hursley.ibm.com/decimal/）提出的格式。Intel公司也提出了自己的格式，但未被採纳。仅仅留了口子。

（标准从来都是企业利益博弈的产物）。

7、 是否该使用十进制浮点数？

Kahan教授的看法：一定要使用十进制浮点数。以避免人为错误。也就是这样的错误：double d = 0.1。实际上。d≠0.1。

IBM公司的看法：在经济、金融和与人相关的程序中，使用十进制浮点数。可是。因为没有硬件支持，用软件实现的十进制浮点计算比硬件实现的二进制浮点计算要慢100-1000倍。因为被IEEE 754R所採纳。IBM公司将在下一代Power芯片中实现十进制FPU。（http://www2.hursley.ibm.com/decimal/）

8、 进一步阅读建议

本文讨论的是二进制浮点数的表示精度问题，对于计算精度，能够阅读David Goldberg的经典文章《What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic》，别以为“Scientist”是什么高级玩意儿。在这里是“刚開始学习的人”，《数值计算指南》把该文作为附录。

总结

精确是偶然的，误差是必定的。

假设做数值算法，惟一能做的就是误差不积累，其他的就不要奢望了。