Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:
Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

错误思路：

根据题意，每次选择只考虑相邻的数字，直接维护一个位置变量和sum变量。忘记考虑三角形可能有重复数字(本次选择最小，不一定会导致全局最小)，贪心算法在此处不适用。需要用动态规划。

Error Code:

<span style="font-size:14px;">class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        if(triangle.size() == 0 || triangle[0].size() == 0) return 0;
        int sum = triangle[0][0];
        int position = 0;
        
        for(int i = 1; i < triangle.size(); i++)
        {
            if(triangle[i][position] < triangle[i][position+1])
            {
                sum += triangle[i][position];
            }
            else
            {
                sum += triangle[i][position+1];
                position += 1;
            }
        }
        
        return sum;
    }
};</span>

正确解法：动态规划

思路：由于top-down的动态规划，空间上有冗余，每次都需要重复保存结果（如第一行为方便第二行计算，需要保存两个值），而且需要特殊处理头尾的元素。所以考虑采用bottom-up的动态规划,从最后一层开始往上计算，设dp[i][j]表示以第i层j个元素为起点的最小路径和，动态规划方程为：

dp[i][j] = value[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i-1][j+1])   (根据题目中的例子，题意中相邻元素指正下(i)和正下右边一个元素(i+1)，不包括正下左边的元素(i-1))

自底向上的计算，每个dp值保存了这个节点的实际最小路径和。

因为每一层之和之和它的下一层的值有关，所以我们只需要一个一维数组保存下层的值

Forthekth 

level:minpath[i] = min(minpath[i],minpath[i+1]) + triangle[k][i];

注意这里，由于我们是min(minpath[i], minpath[i+1])，和之前处理的动态规划不同，[C++]LeetCode: 56 Unique Paths. 这里两个值minpath[i], minpath[i+1]都是没有更新的，即表示的就是dp[i-1][j], dp[i-1][j+1]的含义，都是下一层的值。

Attention:

1. 初始化时，我们用最后一行的值。

//bottom-up 用最后一行元素初始化dp
        vector<int> dp(triangle.back());

 for(int i = row-2; i >= 0; i--)
        {
            for(int j = 0; j <= i; j++)
            {
                dp[j] = triangle[i][j] + min(dp[j], dp[j+1]);
            }
        }

复杂度：时间复杂度O(N^2), 空间O(N)

AC Code:

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
        int row = triangle.size();
        if(row == 0 || triangle[0].size() == 0) return 0;
        
        //bottom-up 用最后一行元素初始化dp
        vector<int> dp(triangle.back());
        
        for(int i = row-2; i >= 0; i--)
        {
            for(int j = 0; j <= i; j++)
            {
                dp[j] = triangle[i][j] + min(dp[j], dp[j+1]);
            }
        }
        
        return dp[0];
    }
};

[C++]LeetCode: 81 Triangle