【算法】期望DP

【题解】

OSU!(误)

原本在纠结长度很不好算啊……x有好多种可能，新增一个不知道加多少QAQ

后来发现我们不是在算期望嘛……不是就算期望长度就好了嘛。

f[i]为加入第i个后的收益。

g[i]为加入第i个后的期望长度。

加入一个i=1的收益为x^3-(x-1)^3=3x^2-3x+1

注意不能直接g[i]*g[i]表示平方，因为平方不是线性运算，期望的平方≠平方的期望。

g2[i]为期望长度的平方。

推导方式中(x-1)--->x和x--->(x+1)的区别：

我们设置g2[i]是为了避免直接对期望平方，而采用递推的方式保持线性运算。

递推的方式是p(i)=[p(i-1)...]*x+0*(1-x)，所以[p(i-1)...]的部分是直接后面接一个x的（默认概率为1）

如果是(x-1)--->x的话，推导过程中使用了x的元素，而x的元素已经加入了x的概率计算。

所以必须采用x--->(x+1)的方式，使概率计算不重复。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=100010;
double f[maxn],g[maxn],g2[maxn];
int n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        double x;
        scanf("%lf",&x);
        g[i]=(g[i-1]+1)*x;
        g2[i]=(g2[i-1]+2*g[i-1]+1)*x;
        f[i]=f[i-1]+(3*g2[i-1]+3*g[i-1]+1)*x;
    }
    printf("%.1lf",f[n]);
    return 0;
}

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【BZOJ】4318: OSU!