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01背包算法

转:01背包问题

动态规划的基本思想:

将一个问题分解为子问题递归求解,且将中间结果保存以避免重复计算。通常用来求最优解,且最优解的局部也是最优的。求解过程产生多个决策序列,下一步总是依赖上一步的结果,自底向上的求解。

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤:

1. 描述一个最优解的结构,寻找子问题,对问题进行划分。

2. 定义状态。往往将和子问题相关的各个变量的一组取值定义为一个状态。某个状态的值就是这个子问题的解(若有k个变量,一般用K维的数组存储各个状态下的解,并可根    据这个数组记录打印求解过程。)。

3. 找出状态转移方程。一般是从一个状态到另一个状态时变量值改变。

4.以“自底向上”的方式计算最优解的值。

5. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。(最优解是问题达到最优值的一组解)

其中步骤1~4是动态规划求解问题的基础,如果题目只要求最优解的值,则步骤5可以省略。

背包问题

01背包: 有N件物品和一个重量为M的背包。(每种物品均只有一件)第i件物品的重量是w[i],价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包: 有N种物品和一个重量为M的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的重量是w[i],价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包重量,且价值总和最大。

多重背包: 有N种物品和一个重量为M的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件重量是w[i],价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包重量,且价值总和最大。

01背包问题:

 

这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。

用子问题定义状态:即c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:

c[i][m]=max{c[i-1][m],c[i-1][m-w[i]]+p[i]}

这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入重量为m的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为c[i-1][m];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的重量为m-w[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是c[i-1][m-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值p[i]。

 

代码:

 1 #include <iostream> 2 #include <algorithm> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstring> 5 #include <queue> 6 #include <cmath> 7 #define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 8 #define INF 0x7f7f7f7f 9 #define M 105010 using namespace std;11 int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值12 int max(int a,int b)13 {14     if(a>=b)15         return a;16     else return b;17 }18 19 int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)20 {21     int i,j;22     for(i=0; i<=n; i++)23         V[i][0]=0;24     for(j=0; j<=C; j++)25         V[0][j]=0;26     for(i=1; i<=n; i++)27         for(j=1; j<=C; j++)28             if(j<w[i])29                 V[i][j]=V[i-1][j];30             else31                 V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);32     j=C;33     for(i=n-1; i>=0; i--)  34     {35         if(V[i][j]>V[i-1][j]) //既然if成立说明该物品被选择了。36         {37             x[i]=1;38             j=j-w[i];39         }40         else41             x[i]=0;42     }43     printf("选中的物品是:\n");44     for(i=0; i<n; i++)45         printf("%d ",x[i]);46     printf("\n");47     return V[n-1][C];48 49 }50 51 int main()52 {53     int s;//获得的最大价值54     int w[15];//物品的重量55     int v[15];//物品的价值56     int x[15];//物品的选取状态57     int n,i;58     int C;//背包最大容量59     n=5;60     memset(V,0,sizeof(V));61     printf("请输入背包的最大容量:\n");62     scanf("%d",&C);63     printf("输入物品数:\n");64     scanf("%d",&n);65     printf("请分别输入物品的重量:\n");66     for(i=0; i<n; i++)67         scanf("%d",&w[i]);68     printf("请分别输入物品的价值:\n");69     for(i=0; i<n; i++)70         scanf("%d",&v[i]);71     s=KnapSack(n,w,v,x,C);72     printf("最大物品价值为:\n");73     printf("%d\n",s);74 }75 /*76 1077 578 3 4 5 3 279 3 2 6 4 380 */
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