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poj 1190 生日蛋糕 , 强剪枝

2024-07-11 20:55:26   224人阅读

题意：

制作一个体积为Nπ(N<=10000)的M(M<=20)层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。 

设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。 
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。 
令Q = Sπ 
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。 

（除Q外，以上所有数据皆为正整数） 


分析：

表面积只和底面圆面积和各层侧面积有关

Q = Sπ

S = R1*R1 + 2*sigma(Ri*Hi(1<=i<=M))

N = sigma(Ri*Ri*Hi(1<=i<=M))


状态(i, Ri, Hi, Si-1, Di-1)  转移---> (i+1, Ri+1, Hi+1, Si, Di)

枚举变量 Ri,Hi，为了减少状态数，就要减少Ri,Hi的枚举范围。

最初一定有： 

M-i<= Ri+1< Ri

M-i<= Hi+1< Hi


剪枝一：

预先计算

minS[i]  表示从上到下第一层到第i层最少要用去的S

minN[i]  表示从上到下第一层到第i层最少要用去的N

则有剪枝：

     Si-1 +minS[m-i] >= best   //最优化剪枝

     Di-1 + minN[m-i] >= N      //可行性剪枝


剪枝二：

从k层到m层增加的侧面积


Si-1 + 2*(N-Di-1)/Ri >=  best  //最优化剪枝


剪枝三：

如果先枚举Ri, 则Hi的上界 maxH = min(Hi  -1, N  -   Si-1   -   minN[M-i-1]) / (Ri*Ri)   )   //可行性剪枝

//先枚举Hi一样。。


#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <string>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;

#define min(a,b) (a) <(b) ? (a):(b)
#define INF 0x3f3f3f3f
int minN[25], minS[25];
int N, M, Min;

void init()
{
    int i;
    minN[0] = minS[0] = 0;
    for(i=1; i<=21; ++i)
    {
        minS[i] = minS[i-1] + 2 * i * i;
        minN[i] = minN[i-1] + i * i * i;
    }
}

void dfs(int k, int r, int h, int sums, int sumv)
{
    if(k==M){
        if(sumv == N && sums < Min)
        {
            Min = sums;
        }
        return ;
    }
    if(sums + minS[M-k] > Min ||sumv + minN[M-k] > N||2*(N-sumv)/r + sums >= Min)
        return ;
    for(int i=r-1; i>=M-k; --i)
    {
        if(k==0) sums = i * i;

        int maxH = min( h-1, (N-sumv-minN[M-k-1])/(i*i) );
        for(int j=maxH; j>=M-k; --j)
            dfs(k+1, i, j, sums + 2 * i * j, sumv + i * i * j);
    }
}

int main()
{
    init();
    while(cin>>N>>M)
    {
        Min = INF;
        dfs(0, N, N, 0, 0);  //K, R, H, SUMS, SUMV
        if(Min<INF)
            cout<<Min<<endl;
        else
            cout<<0<<endl;
    }
    return 0;
}




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