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数学公式

(1)   整数的唯一分解定理:

      任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。

      A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)   其中pi均为素数


(2)   约数和公式:

对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)

有A的所有因子之和为

    S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)


(3)   同余模公式:

(a+b)%m=(a%m+b%m)%m

(a*b)%m=(a%m*b%m)%m


(4)用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n:

一、若n为奇数,一共有偶数项,则:
     
1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))   

     这里将其分成两半,提后一半的公因式p^(n/2+1)
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

 

二、若n为偶数,一共有奇数项,则:
     
1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)

     可知n-1为偶数,对前偶数项进行上述操作再加上最后一项p^n
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2)) + p^n;


(5)反复平方法计算幂次式p^n


   这是本题关键所在,求n次幂方法的好坏,决定了本题是否TLE。

   以p=2,n=8为例

   常规是通过连乘法求幂,即2^8=2*2*2*2*2*2*2*2

   这样做的要做8次乘法

 

   而反复平方法则不同,

   定义幂sq=1,再检查n是否大于0,

While,循环过程若发现n为奇数,则把此时的p值乘到sq

{

   n=8>0 ,把p自乘一次, p=p*p=4     ,n取半 n=4

   n=4>0 ,再把p自乘一次, p=p*p=16   ,n取半 n=2

n=2>0 ,再把p自乘一次, p=p*p=256  ,n取半 n=1,sq=sq*p

n=1>0 ,再把p自乘一次, p=p*p=256^2  ,n取半 n=0,弹出循环

}

则sq=256就是所求,显然反复平方法只做了3次乘法


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