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poj 2728 Desert King(最小比率生成树，迭代法)
引用别人的解释：
题意：有n个村庄，村庄在不同坐标和海拔，现在要对所有村庄供水，只要两个村庄之间有一条路即可，
建造水管距离为坐标之间的欧几里德距离（好象是叫欧几里德距离吧），费用为海拔之差
现在要求方案使得费用与距离的比值最小
很显然，这个题目是要求一棵最优比率生成树，
概念
有带权图G, 对于图中每条边e[i], 都有benifit[i](收入)和cost[i](花费), 我们要求的是一棵生成树T, 它使得 ∑(benifit[i]) / ∑(cost[i]), i∈T 最大(或最小).
这显然是一个具有现实意义的问题.
解法之一 0-1分数规划
设x[i]等于1或0, 表示边e[i]是否属于生成树.
则我们所求的比率 r = ∑(benifit[i] * x[i]) / ∑(cost[i] * x[i]), 0≤i<m .
为了使 r 最大, 设计一个子问题---> 让 z = ∑(benifit[i] * x[i]) - l * ∑(cost[i] * x[i]) = ∑(d[i] * x[i]) 最大 (d[i] = benifit[i] - l * cost[i]) , 并记为z(l). 我们可以兴高采烈地把z(l)看做以d为边权的最大生成树的总权值.
然后明确两个性质:
1. z单调递减
证明: 因为cost为正数, 所以z随l的减小而增大.
2. z( max(r) ) = 0
证明: 若z( max(r) ) < 0, ∑(benifit[i] * x[i]) - max(r) * ∑(cost[i] * x[i]) < 0, 可化为 max(r) < max(r). 矛盾;
若z( max(r) ) >= 0, 根据性质1, 当z = 0 时r最大.
到了这个地步, 七窍全已打通, 喜欢二分的上二分, 喜欢Dinkelbach的就Dinkelbach.
复杂度
时间 O( O(MST) * log max(r) )
空间 O( O(MST) )
迭代+prim
#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>#include<limits.h>#define MAX 1100double x[MAX],y[MAX],z[MAX];double cost[MAX][MAX],dist[MAX][MAX];int n;double prim(double);int main(void){ int i,j; while(scanf("%d",&n)&&n){ for(i=1;i<=n;i++){//读取数据 scanf("%lf%lf%lf",&x[i],&y[i],&z[i]); } //处理 任意点之间的长度和价值 for(i=1;i<=n;i++){ for(j=i+1;j<=n;j++){ double d=(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]); dist[i][j]=dist[j][i]=sqrt(d); double c=z[i]-z[j]; if(c<0) c=-c; cost[i][j]=cost[j][i]=c; } } //判断给定的rate是否在误差之内 double a=0,b=0; //初始r为0 while(1) { b = prim(a); if(fabs(a-b)<1e-4) break; a=b; } printf("%.3lf\n",b); } return 0;}double prim(double p){ int visit[MAX],father[MAX]; double dis[MAX]; int i,j; //访问数组初始化 memset(visit,0,sizeof(visit)); visit[1]=1; //对已加入的最小生成树的顶点集合 计算它的父节点 for(i=2;i<=n;i++){ dis[i]=cost[1][i]-p*dist[1][i]; father[i]=1; } int k=0; double totalCost=0,totalDist=0; //prim求最小生成树 for(i=1;i<n;i++){ k=0; double mincost=INT_MAX;//最大值，最好是这个 for(j=2;j<=n;j++){ if(!visit[j]&&dis[j]<mincost) { mincost=dis[j];k=j; } } if(k==0) break; visit[k]=1; totalCost+=cost[ father[k] ][k]; totalDist+=dist[ father[k] ][k]; for(j=1;j<=n;j++){ double h=cost[k][j]-p*dist[k][j]; if(!visit[j]&&dis[j]>h){ dis[j]=h; father[j]=k; } } } return totalCost/totalDist;}