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POJ2728 最小比率生成树/0-1分数规划/二分/迭代（迭代不会）
用01分数规划 + prime + 二分 竟然2950MS惊险的过了QAQ
前提是在TLE了好几次下过的 = =
题目意思：
有n个村庄，村庄在不同坐标和海拔，现在要对所有村庄供水，只要两个村庄之间有一条路即可，建造水管距离为坐标之间的欧几里德距离，费用为海拔之差，现在要求方案使得费用与距离的比值最小，很显然，这个题目是要求一棵最优比率生成树。
解题思路：
对答案进行二分，当把代进去的答案拿来算最小生成树的时候，一旦总路径长度为0，就是需要的答案。
0-1规划是啥？
概念
有带权图G, 对于图中每条边e[i], 都有benifit[i](收入)和cost[i](花费), 我们要求的是一棵生成树T, 它使得 ∑(benifit[i]) / ∑(cost[i]), i∈T 最大(或最小).这显然是一个具有现实意义的问题.
解法之一 0-1分数规划
设x[i]等于1或0, 表示边e[i]是否属于生成树.
则我们所求的比率 r = ∑(benifit[i] * x[i]) / ∑(cost[i] * x[i]), 0≤i<m .
为了使 r 最大, 设计一个子问题---> 让 z = ∑(benifit[i] * x[i]) - l * ∑(cost[i] * x[i]) = ∑(d[i] * x[i]) 最大 (d[i] = benifit[i] - l * cost[i]) , 并记为z(l). 我们可以兴高采烈地把z(l)看做以d为边权的最大生成树的总权值.
然后明确两个性质:
1. z单调递减
证明: 因为cost为正数, 所以z随l的减小而增大.
2. z( max(r) ) = 0
证明: 若z( max(r) ) < 0, ∑(benifit[i] * x[i]) - max(r) * ∑(cost[i] * x[i]) < 0, 可化为 max(r) < max(r). 矛盾;
若z( max(r) ) >= 0, 根据性质1, 当z = 0 时r最大.
贴代码：
1 //#pragma comment(linker, "/STACK:16777216") //for c++ Compiler 2 #include <stdio.h> 3 #include <iostream> 4 #include <climits> 5 #include <cstring> 6 #include <cmath> 7 #include <stack> 8 #include <vector> 9 #include <algorithm>10 #define ll long long11 using namespace std;12 13 const int INF = 0x3f3f3f3f;14 const int MAXN = 1001;15 struct node{16 double x,y,h;17 }dot[MAXN];18 19 double map[MAXN][MAXN];20 int n;21 double dis(double x1,double y1,double x2,double y2){22 return sqrt( (x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1) );23 }24 25 void creat(int n,double l){26 for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++)27 map[i][j]=fabs(dot[i].h-dot[j].h) - l * dis(dot[i].x,dot[i].y,dot[j].x,dot[j].y);28 }29 30 double prim(){31 bool vis[MAXN];32 memset(vis, 0, sizeof(vis));33 double dis[MAXN];34 double ans = 0;35 int i,j;36 vis[1] = true;37 for(i = 1; i <= n; ++i)38 dis[i] = map[1][i];39 for(i = 1; i < n; ++i){40 int temp = INF, flag;41 for(j = 1; j <= n; ++j){42 if(!vis[j] && dis[j] <= temp){43 temp = dis[j];44 flag = j;45 }46 }47 vis[flag] = true;48 ans += dis[flag];49 for(j = 1; j <= n; ++j){50 if(!vis[j] && map[flag][j] < dis[j])51 dis[j] = map[flag][j];52 }53 }54 return ans;55 }56 57 int main(){58 int i,j;59 double res,front,rear, mid;60 while(EOF != scanf("%d",&n)){61 if(n==0) break;62 for(i=1;i<=n;i++)63 scanf("%lf%lf%lf",&dot[i].x,&dot[i].y,&dot[i].h);64 front = 0;65 rear = 100.0;//doubt66 while(front <= rear){67 mid = (front + rear) / 2;68 creat(n,mid);69 res = prim();70 if(fabs(res) < 1e-4)71 break;72 else if(res > 1e-4)73 front = mid;74 else75 rear = mid;76 }77 printf("%.3f\n",mid);78 }79 return 0;80 }