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hihoCoder 1303 数论六·模线性方程组
Description
求解模线性方程组, \(m_i\) 不互质.
Sol
扩展欧几里得+中国剩余定理.
首先两两合并跟上篇博文一样.
每次通解就是每次增加两个数的最小公倍数,这对取模任意一个数都是0.
伪代码如下
M = m[1], R = r[1]For i = 2 .. N d = gcd(M, m[i]) c = r[i] - R If (c mod d) Then // 无解的情况 Return -1 End If (k1, k2) = extend_gcd(M / d, m[i] / d) // 扩展欧几里德计算k1,k2 k1 = (c / d * k1) mod (m[i] / d) // 扩展解系 R = R + k1 * M // 计算x = m[1] * k[1] + r[1] M = M / d * m[i] // 求解lcm(M, m[i]) R %= M // 求解合并后的新R,同时让R最小End For If (R < 0) Then R = R + MEnd IfReturn R
Code
#include<cstdio>#include<utility>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;typedef long long LL;#define mpr make_pairconst int N = 1005;LL n,a1,a2,b1,b2;pair< LL,LL > m[N];inline LL in(LL x=0,char ch=getchar()){ while(ch>‘9‘ || ch<‘0‘) ch=getchar(); while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘,ch=getchar();return x; }LL Exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){ if(!b){ x=1,y=0;return a; } LL r=Exgcd(b,a%b,x,y);LL t=x; x=y,y=t-(a/b)*y;return r;}int Solve(){ LL x,y,d=Exgcd(a1,a2,x,y); if((b2-b1)%d) return 0; Exgcd(a1/d,a2/d,x,y),x*=(b2-b1)/d,x=(x%(a2/d)+a2/d)%(a2/d); b1=a1*x+b1,a1=a1/d*a2,b1=(b1%a1+a1)%a1; return 1;}int main(){ n=in(); for(LL i=1,u,v;i<=n;i++) u=in(),v=in(),m[i]=mpr(u,v); a1=m[1].first,b1=m[1].second; for(int i=2;i<=n;i++){ a2=m[i].first,b2=m[i].second; if(!Solve()) return puts("-1"),0; }return printf("%lld\n",b1),0;}
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