§4  线性方程组的解

定理   n元线性方程组

1．   无解

2．   有唯一解

3．   有无穷多解

证   设 ，为讨论方便，不妨设增广矩阵经若干次初等行变换变成如下行最简形矩阵

证

1 ． ，则 ，上述矩阵的第r+1 行对应矛盾方程 ，故方程组无解。

2 ． ，则上述行最简形矩阵为

对应的方程组是

即表示方程组有唯一解。

3 ． ，则 ，对应的方程组可表示为

令 ，则解得方程组含 个参数的解：

即

由于参数可任取，故方程组有无穷多个解。

例   求解齐次线性方程组

解  

例   求解线性方程组

解  

例   设线性方程组

问 取何值时，方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。

解  

1 ． 时， ，方程组有唯一解；

2 ． 时， ，方程组无解；

3 ． 时， ，方程组有无穷多解，并且通解为

一些推广：

1．   矩阵方程 有解 。

2．   ，则 。

3．   矩阵方程 只有零解 。

【转】线性方程组求解