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【线性代数】线性方程组的求解

2024-08-01 01:12:01   224人阅读

       上一篇文章讲述了Ax=0的解和矩阵A的零空间，这里我们讨论Ax=b的解以及矩阵A的列空间。

       Ax=0是肯定有解的，因为总存在x为全零向量，使得方程组成立。而Ax=b是不一定有解的，我们需要高斯消元来确定。我们还是利用上一篇讲述了Ax=0的解的矩阵A来举例说明：


我们可以得到上述方程组的增广矩阵(等式右侧不是全零向量，消元时值会改变，所以需要用增广矩阵)如下：


然后我们进行高斯消元可以得到：


从上面的矩阵可以看出，等式成立必须有：


我们假设一个满足上面条件的b向量，例如：b=[1 5 1+5];并且令两个自由变量x2=0,x4=0，则我们将消元后的矩阵写成方程组的形式如下：


得到的解为：



Xc是这个方程组的一个特解，因为当X2,X4取不同的值时，会得到不同的特解。那么我们如何得到方程的同解呢？即怎样用一般形式来表示所有的特解？
求解Ax=b的过程：
1、求解特解Xc
2、求解Ax=0的解Xn
Ax=b的解就是特解Xc+Xn，证明如下：

Xc我们上面已经得到，Xn在上一篇文章中得到，则通解可以表示为：


至此，我们就得到了Ax=b的解。
通过上面的分析求解，我们知道当b满足下式时，方程组有解：

实际上，方程有解的条件是向量b属于矩阵A的列空间，即向量b可以表示为矩阵A的各列的线性组合。例如上面的例子：


方程的解就是矩阵A中各列前面的系数。


下面推广到更一般的情况，我们以矩阵A的不同情况来看解的结构(假设矩阵A为m*n的矩阵,秩为r)：
1、r=n<m，即列满秩(所有列都有主元)
     由于所有列都有主元，则自由变量的个数为0，矩阵A的零空间中只有零向量。Ax=b的解的个数为0个或者1个.
     举例说明：

  当b=[4 3 6 7]时，Ax=b的唯一解为x=[1 1]。

2、r=m<n，即行满秩(所有行都有主元)
     由于所有行都有主元，消元后不会出现全为0的行，则Ax=b有无穷多解。且自由变量的个数为n-r，矩阵A的零空间中不只有零向量。
     例如：

3、r=m=n，即列、行都满秩(矩阵可逆)
     由于列、行都满秩，则具有列满秩，行满秩的一些性质：零空间只有零向量，方程总有解且解唯一。

4、r<m，r<n，非满秩矩阵


Ax=b有无穷多解或则没有解。

从上面的四种情况的讨论，我们可以总结如下：
如果想看一个线性方程组的解的情况，我们可以通过高斯消元法得到矩阵A的最简形式R，R的可能情况如下：

这四种情况分别对应的解的情况为：
1、唯一解或无解
2、无穷多解
3、唯一解
4、无解或无穷多解

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/40921003

作者：nineheadedbird





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