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欧拉函数知识点总结及代码模板及欧拉函数表

2024-07-14 16:21:42   254人阅读

  概念梳理：  

     欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。 

     欧拉函数的性质：它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后，所有的素数幂上的欧拉函数之积。

     欧拉函数的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等     于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4）

    推论：当n为奇数时，有φ(2n)=φ(n)。

    若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
    设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
    欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
    特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
   算法实现与分析：
   求解欧拉函数的值可用φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，容易知道要对n进行素因子分解。
    （1）直接实现
    
 1 int oula(int n) 2 { 3     int rea=n; 4     for(int i=2; i<=n; i++) 5         if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子 6         { 7             rea=rea-rea/i; 8             do 9                 n/=i;//把该素因子全部约掉10             while(n%i==0);11         }12     return rea;13 }

 这个函数的复杂度为O（n），如果n达到1000000000，肯定会超时，由于任何一个合数都至少有一个不大于根号n的素因子，所以只需遍历到根号n即可，这样复杂度降为O(√¯n）

    下面是优化代码：

 1 int oula(int n) 2 { 3     int rea=n; 4     for(int i=2; i*i<=n; i++) 5         if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子 6         { 7             rea=rea-rea/i; 8             do 9                 n/=i;//把该素因子全部约掉10             while(n%i==0);11         }12     if(n>1)13         rea=rea-rea/n;14     return rea;15 }

（2）素数表实现

    先把50 000以内的素数用筛选法选出来并保存，以方便欧拉函数使用，这样，在不考虑筛选法的时间复杂度，而单纯看欧拉函数，其复杂度为O（x），x为O(√¯n）以内素数的个数。

 1 bool boo[50000]; 2 int p[20000]; 3 void prim() 4 { 5     memset(boo,0,sizeof(boo)); 6     boo[0]=boo[1]=1; 7     int k=0; 8     for(int i=2; i<50000; i++) 9     {10         if(!boo[i])11             p[k++]=i;12         for(int j=0; j<k&&i*p[j]<50000; j++)13         {14             boo[i*p[j]=1;15                 if(!(i%p[j]))16                 break;17         }18 }19 }//筛选法打表20 int phi(int n)21 {22     int rea=n;23     for(int i=0; p[i]*p[i]<=n; i++)//对于一些不是素数的可不遍历24         if(n%p[i]==0)25         {26             rea=rea-rea/n;27             do28                 n/=p[i];29             while(n%p[i]==0);30         }31     if(n>1)32         rea=rea-rea/n;33     return rea;34 }

    （3）递推求欧拉函数

     如果频繁的使用欧拉函数值，就需要预先打表，下面介绍递推求欧拉公式的方法。

    可预先之所有数的欧拉函数值都为她本身，有定理可知，如果p是一个正整数且满足φ（p）=p-1;那么p是素数，在遍历过程中如果遇到欧拉函数与自身相等的情况。那么说明该数为素数，把这个数的欧拉函数值改变，同时也把能被素因子整除的数改变。

    

 1 for(i=1; i<=maxn; i++) 2     p[i]=i; 3 for(i=2; i<=maxn; i+=2) 4     p[i]/=2; 5 for(i=3; i<=maxn; i+=2) 6     if(p[i]==i) 7     { 8         for(j=i; j<=maxn; j+=i) 9             p[j]=p[j]/i*(i-1);10     }

噶呜~附上欧拉函数表：

2-100欧拉函数表
n φ(n)
2 1
3 2
4 2
5 4
6 2
7 6
8 4
9 6
10 4
11 10
12 4
13 12
14 6
15 8
16 8
17 16
18 6
19 18
20 8
21 12
22 10
23 22
24 8
25 20
26 12
27 18
28 12
29 28
30 8
31 30
32 16
33 20
34 16
35 24
36 12
37 36
38 18
39 24
40 16
41 40
42 12
43 42
44 20
45 24
46 22
47 46
48 16
49 42
50 20
51 32
52 24
53 52
54 18
55 40
56 24
57 36
58 28
59 58
60 16
61 60
62 30
63 36
64 32
65 48
66 20
67 66
68 32
69 44
70 24
71 70
72 24
73 72
74 36
75 40
76 36
77 60
78 24
79 78
80 32
81 54
82 40
83 82
84 24
85 64
86 42
87 56
88 40
89 88
90 24
91 72
92 44
93 60
94 46
95 72
96 32
97 96
98 42
99 60
100 40
 


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