平衡二叉树定义(AVL)：它或者是一颗空树，或者具有以下性质的二叉树：它的左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1，且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。

平衡因子(bf)：结点的左子树的深度减去右子树的深度，那么显然-1<=bf<=1;

很显然，平衡二叉树是在二叉排序树(BST)上引入的，就是为了解决二叉排序树的不平衡性导致时间复杂度大大下降，那么AVL就保持住了(BST)的最好时间复杂度O(logn)，所以每次的插入和删除都要确保二叉树的平衡，那么怎么保持平衡呢？

我努力看了看数据结构上的讲解，但是看的只晕+_+！我对他的讲解很无语，他所谓的“旋转”操作讲的不明不白，看的我气的蛋疼！你说你旋转，你得说清是如何旋转？以那个结点为中心，那些或者说那个结点转了，那些结点不动。你就在哪里旋转来旋转去的，谁知道你是咋转的，你在哪慢慢转吧！哥转不过你，另找高明！于是在网上找啊找，只为想搞明白是到底怎么转的！点击打开链接让我对“旋转”有所领悟，表示感谢！

插入时：

那究竟是如何“转”的呢？

首先必须明白一个核心操作，不让它叫“旋转”！而叫——>“两个结点的变换”

如图：

就拿第一个来说->点100和101的变换：

点101占据点100的位置，点100换到了101的对面的位置，其他点的相对位置不变。

我们可以更直观的理解为：把101结点“上提”一下！

分析：101>100，所以100可以作为101的左孩子；

也就是在二叉排序树中，两个结点这样的变换操作是可行的，是符合二叉排序树的性质。

不仅这个简单的图，任何复杂的二叉排序树都可以，你可以试试，也许你会说如果点101左边有孩子怎么办？别着急~，当然有办法！

下边正式说这个图的四种不平衡情况（插入时）及操作：

首先还需要明白一个概念->最小不平衡子树的根结点：也就是当你进行插入操作时，找到该需要插入结点的位置并插入后，从该结点起向上寻找（回溯），第一个不平衡的结点即平衡因子bf变为-2或2。

为什么要引入这个最小不平衡根结点的概念，因为在插入时，对该子树进行保持平衡操作后，其它的结点的平衡因子不会变，也就是整棵树又恢复平衡了。为什么呢？

你想想不平衡点的bf一定是-2或2吧，经过平衡操作后，他会把一边子树的一个结点分给另一边的子树，也就是一边的深度分给另一边，这样就平衡了！

比如，插入前：左边是深度1，右边深度是0；插入后左边深度是2，右边深度是0，经过平衡后左边深度是1，右边深度是1；

那么你说插入前和插入后该根结点所领导的子树的深度变没？？仍是1，显然没变！那么就仍保持了这棵树的平衡了！

下面即四种情况分别为：左左、右右、左右、右左，每种情况又有两个图：①、②，①是该情况的最简单的图形，②是该情况的一般的图形；

设x为最小不平衡子树的根结点，y为刚插入的点

左左：

即在x的左孩子a的左孩子c上插入一个结点y（该结点也可以是c,如图①），即y可以是c，也可以是c的左孩子（如图②），也可以是c的右孩子（不在画出）

图①就不用说了，结点x和结点a变换，则树平衡了；那么图②就是树中的一般情况了a结点有右孩子d，那要进行x和a变换，那么a的右孩子放哪啊？

很简单，如图放在x的左孩子上；分析：x>d,d>a,所以d可作为x的左孩子，且可作为a的右孩子中的孩子。下边这样的类似情况不再一一分析，自己分析分析~

实现：找到根结点x，与它的左孩子a进行交换即可使二叉树树再次平衡；

右右：

即在x的右孩子a的右孩子c上插入一个结点y（该结点也可以是c,如图①），即y可以是c，也可以是c的右孩子（如图②），也可以是c的左孩子（不在画出）

实现：找到根结点x，与它的右孩子a进行交换即可使二叉树树再次平衡；

左右：

即在x的左孩子a的右孩子c上插入一个结点y（该结点也可以是c,如图①），即y可以是c，也可以是c的右孩子（如图②），也可以是c的左孩子（不在画出）

这个左右和下边的右左，稍微复杂了点，需要进行两次交换，才能达到平衡，注意这时y是c的右孩子，最终y作为x的左孩子；若y是c的左孩子，最终y作为a

的右孩子，画图分析一下~~下边类似，不再敖述。

实现：找到根结点x，让x的左孩子a与x的左孩子a的右孩子c进行交换，然后再让x与x此时的左孩子c进行交换，最终达到平衡；

右左：

即在x的右孩子a的左孩子c上插入一个结点y（该结点也可以是c,如图①），即y可以是c，也可以是c的右孩子（如图②），也可以是c的左孩子（不在画出）

实现：找到根结点x，让x的右孩子a与x的右孩子a的左孩子c进行交换，然后再让x与x此时的右孩子c进行交换，最终达到平衡；

上边的四种情况包含了所有插入时导致不平衡的情况，上面给出的仅仅是一棵大树中的最小不平衡子树，一定要想清楚，别迷了！

另外一定要注意这个交换操作，比如a与b交换（a在上，b在下），b一定要占据a的位置！什么意思？就是b要放在（覆盖）储存a的那块内存上，

再通俗点说，若a是x的左孩子，则交换后b要做x的左孩子；这就是所谓的b占据a的位置！

那么如何找到最小不平衡子树的根结点x，并判断出它是属于那种情况的？

插入一个结点时，我们首先找到需要插入的位置，并插入；数据结构上用的是递归，不要说递归太浪费时空，你想想一个含2^31个结点的平衡二叉树的深度大约是31吧，它递归再多也不就是31层！而且递归代码短小、精悍、富含艺术之美！所以我认为对于这个平衡二叉树，用递归很合适！

显然插入之后就要检查是否出现不平衡的结点，那么如何检查？

我们知道，你插入的时候用的是递归，一条线找到要插的位置，并插入；那么谁的平衡因子的有可能变呢？

不难想象，只有该条线上的结点的平衡因子有可能改变！那么我们在回溯的时候不就可以找到第一个不平衡的子树的结点？！

可是我们如何判断该结点的平衡因子是否应该改变，显然要看它被插入结点的一边的深度是否增加；

如何看它被插入结点的一边的深度是否增加？

如上图，如何看x的右孩子a（即被插入结点的一边）的深度增加？我们知道在a的右孩子上插入了结点y那么a的bf是一定要减1

那么x结点的bf？可根据a的bf决定是否改变！

若a:bf=-1或1，那么a之前一定为0，表示a的深度增加了，那么x的bf可根据a是x哪一边的孩子决定+1或-1；

若a:bf=0，那么a之前一定为-1或1，表示a的深度每增加，那么不仅x的bf就不用变，该条线上的所有结点的bf都不用变，直接返回即可；

当然了，那么找到最小不平衡子树的根结点x了，如何判断它属于哪种不平衡呢？

①根据上边的几种情况，我们需要知道两个方向，在回溯时可以记录一下该结点到下一个结点的方向0：左、1：右为第二个方向，传递给上一层中，那么上层中的方向就是一个方向，有了这两个方向就能确定是哪种不平衡了。

还就上边的图说吧~可以定义一个全局变量secdirection（第二个方向），也可在递归中定义一个局部变量，返回给上一层。在回溯到a中时，secdirection=1，到x的时候

x->a的方向也为1，定义firdirection=1；而这时x:bf=-2；那么就找到了最小不平衡子树的根结点x，又知道了两个方向，那么进行相应的平衡操作不就行了。

②其实我代码中的就是按照①写的，可是刚又想了，其实不用用个变量记录第二个方向，可以根据a的bf确定它的第二个方向，a:bf=-1说明右孩子的深度增加，y加到右孩子上；

a:bf=1;说明左孩子的深度增加，y加到左孩子上；

好了，找到了最小不平衡子树的根结点x了，也知道了那种不平衡，调用keepbalance(...)就使树平衡了，可是某些结点的平衡因子在变换是变了~~咋办？

我就是一种一种情况推出来的，不知道别人怎么变的，每一种情况都有固定的几个点变了，变成了一个固定的值！谁有更好的办法，请多多指教！

下边一一列出（插入操作中）变换后bf改变的结点及值：

左左：前a->bf=1 后 x->bf=0,a->bf=0；右右：前a->bf=-1 后x->bf=0,a->bf=0；显然左左与右右的x与a变换后的bf都为0；

左右、右左中结点bf的改变要根据之前c的bf！

左右：若c->bf=1,则x->bf=-1,a->bf=0,c->bf=0；若c->bf=-1,则x->bf=0,a->bf=1,c->bf=0；若c->bf=0,则x->bf=0,a->bf=0,c->bf=0；

右左：若c->bf=1,则x->bf=0,a->bf=-1,c->bf=0；若c->bf=-1,则x->bf=1,a->bf=0,c->bf=0；若c->bf=0,则x->bf=0,a->bf=0,c->bf=0；

可以发现，当左右、右左的c->bf相同时x与a的bf刚好取相反的值。

好了，到现在插入一个结点的二叉树终于平衡了，相应的平衡因子也修改了！插入算是完成了！！

删除时：

删除类似插入的操作，蛋又不同，删除会有一些特殊情况需要特殊处理，当然核心操作“保持平衡”是不变的！

删除时少一个结点，也就是该结点所在的子树深度可能会减小，而插入时多一个结点，该结点所在的子树深度可能会增加，

所以递归删除一个结点时，回溯时找到最小不平衡子树的根结点时，要向相反的方向去找属于哪种情况；

如图：

y为要删除的结点；

图①：y结点删除后，回溯到x结点x:bf=-1变为x:bf=-2；则需从相反方向即从x的右孩子的方向向下检查属于哪种情况，显然第一个方向为1：右；

第二个方向看a:bf的值——若为1时，那就相当于插入时‘右左’的情况；若为-1时，那就相当于插入时‘左左’的情况；可现在a:bf既不是1也不是-1

而是0，这就是删除的特殊情况了！我们不妨试试对他进行类似于插入时的‘右右’操作，看怎么样~    如上图，经过变换后该子树平衡了！但是因子的

修改就跟插入时的‘右右’不一样了！此时变为：x:bf=-1,a:bf=1；所以我们不妨就把a:bf=0也归纳为删除的‘右右’或‘左左’（如图②，不再敖述）操作；

那么删除时因子的改变需在插入时因子的改变中添加上：

左左：前a:bf=0 后x:bf=1,a:bf=-1； 右右：前a:bf=0 后x:bf=-1,a:bf=1；其他不变！

插入时结束结点平衡因子的修改，直接返回（也就是该树已经平衡了）：

回溯时发现儿子结点的平衡因子为0（当发现不平衡结点，并进行平衡操作后，平衡后根结点的bf一定为0，也结束了）

但是删除时结束结点平衡因子的修改，直接返回，就与插入时不一样了：回溯时发现儿子结点的平衡因子为-1或1！

再删除操作中，平衡一个子树后，该子树的深度不一定不变，而只有上边那种特殊情况该子树的深度不变，其他都会变！

可以想象，其实是很简单的道理：除了特殊情况其他都与插入的情况一模一样，说白了就是把深度大的子树（根结点的其中一个）向深度小子树贡献一个深度，

那么这样一来，该子树（对于根结点所领导的树）的深度是不是比原来的小1了？！所以要继续向上一个一个进行检索，直到根结点为止！