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hdu 3045 Picnic Cows(斜率优化DP)

2024-08-25 12:05:30   217人阅读

题目链接：hdu 3045 Picnic Cows

题意：

  1. 有n个奶牛分别有对应的兴趣值，现在对奶牛分组，每组成员不少于t，   
  2. 在每组中所有的成员兴趣值要减少到一致，问总共最少需要减少的兴趣值是多少。  

题解：


  1. 分析：
    先对n个数进行排序，则可以分析出分组成员一定是连续的
    dp[i]表示前i个数得到的最少值
    则:从j~i作为一组
    dp[i]=dp[j-1]+sum[i]-sum[j-1]-(i-j+1)*s[j];//sum[i]表示前i个数的和
    =>dp[i]=dp[j-1]+sum[i]-sum[j-1]+(j-1)*s[j]-i*s[j];
    由于有i*s[j]这一项,所以无法直接在扫描数组的过程中用单调队列维护：
    dp[j-1]-sum[j-1]+(j-1)*s[j]-i*s[j]的最小值。
    考虑用斜率dp!
    假定k<j<=i-t以j~i作为一组比以k~i作为一组更优
    则：
    dp[j-1]+sum[i]-sum[j-1]-(i-j+1)*s[j] <= dp[k-1]+sum[i]-sum[k-1]-(i-k+1)*s[k]
    =>dp[j-1]+sum[i]-sum[j-1]+(j-1)*s[j]-i*s[j] <= dp[k-1]+sum[i]-sum[k-1]+(k-1)*s[k]-i*s[k]
    =>(dp[j-1]-sum[j-1]+(j-1)*s[j] - (dp[k-1]-sum[k-1]+(k-1)*s[k]))/(s[j]-s[k])<=i;//保证s[j]>=s[k]
    令:
    y1 = dp[j-1]-sum[j-1]+(j-1)*s[j]
    y2 = dp[k-1]-sum[k-1]+(k-1)*s[k]
    x1 = s[j]
    x2 = s[k]
    所以变成了：
    (y1 - y2)/(x1 - x2) <= i;
    斜率!
    只需要维护这个斜率即可

以上转自stephen博客

技术分享 
 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 
 6 const int N=5e5+7;
 7 int n,t,Q[N];
 8 ll sum[N],s[N],dp[N];
 9 
10 ll get_y(int j,int k)
11 {
12     return dp[j-1]-sum[j-1]+(j-1)*s[j]-(dp[k-1]-sum[k-1]+(k-1)*s[k]);
13 }
14 
15 ll get_x(int j,int k){return s[j]-s[k];}
16 
17 int check(int i,int j,int k)//获取更优的点
18 {
19     return get_y(i,j)*get_x(j,k)<=get_y(j,k)*get_x(i,j);
20 }
21 
22 int main()
23 {
24     while(~scanf("%d%d",&n,&t))
25     {
26         F(i,1,n)scanf("%lld",s+i);
27         sort(s+1,s+1+n);
28         F(i,1,n)sum[i]=sum[i-1]+s[i];
29         int en=2*t-1;
30         F(i,t,en)dp[i]=sum[i]-i*s[1];//从t到2*t-1都只能分到一组里
31         int head=1,tail=0,st=2*t;
32         F(i,st,n)
33         {
34             while(head<tail&&check(i-t+1,Q[tail],Q[tail-1]))tail--;
35             Q[++tail]=i-t+1;
36             while(head<tail&&get_y(Q[head+1],Q[head])<=get_x(Q[head+1],Q[head])*i)head++;
37             dp[i]=dp[Q[head]-1]+sum[i]-sum[Q[head]-1]-(i-Q[head]+1)*s[Q[head]];
38         }
39         printf("%lld\n",dp[n]);
40     }
41     return 0;
42 }
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